【推荐1】如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x²+bx+c的图象与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，B点的坐标为（6，0），点M为抛物线上的一个动点．
   
（1）若该二次函数图象的对称轴为直线x＝4时：
①求二次函数的表达式；
②当点M位于x轴下方抛物线图象上时，过点M作x轴的垂线，交BC于点Q，求线段MQ的最大值；
（2）过点M作BC的平行线，交抛物线于点N，设点M、N的横坐标为m、n．在点M运动的过程中，试问m+n的值是否会发生改变？若改变，请说明理由；若不变，请求出m+n的值．

【推荐2】如图，在平面直角坐标系中，直线分别与，轴交于点，，点为线段上一点，且．

(1)求点坐标及直线的解析式；
(2)为轴上一个动点，当时，求点坐标；
(3)为直线上一个动点，为坐标系内一点，当以，，，四个点为顶点的四边形是菱形时，直接写出点坐标．

【推荐3】如图，直角三角板的两条直角边分别与轴，轴的正半轴交于点，探究三角板在旋转过程中的数学问题．


问题一：如图1，若直角三角板的直角顶点的坐标为，
①勤奋小组发现，无论直角三角板绕点怎么旋转，始终存在_________；
②创新小组发现，在旋转过程中，，请你说明理由；
问题二：如图2，若直角三角板的直角顶点的坐标为，连接，，相交于点，若点的坐标为，则点的坐标为_________．

【推荐2】在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y′），给出如下定义：
如果，那么称点Q为点P的“关联点”．
例如：点（5，6）的“关联点”为点（5，6），点（﹣5，6）的“关联点”为点（﹣5，﹣6）．
(1)如果点A（3，﹣1），B（﹣1，3）的“关联点”中有一个在函数的图像上，那么这个点是 （填“点A”或“点B”）．
(2)如果点N^*（m+1，2）是一次函数y=x+3图像上点N的“关联点”，求点N的坐标．
(3)如果点P在函数y=﹣x²+4（﹣2＜x≤a）的图像上，其“关联点”Q的纵坐标y′的取值范围是﹣4＜y′≤4，那么实数a的取值范围.

【推荐3】问题：探究函数的图象与性质．小斐根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小斐的探究过程，请补充完整：
(1)在函数中，自变量x的取值范围是______；
(2)下表是y与x的几组对应值．

x	…				0	1	2	3	…
y	…	1	0				0	m	…

①______；
②若，为该函数图象上不同的两点，则______；
(3)如图，在平面直角坐标系xOy中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并根据描出的点，画出该函数的图象，根据函数图象可得：

①函数的最小值为______；
②请你写出该函数的另外一条性质：______．
(4)，为函数图象上的任意两点，其中，若对于，都有，请结合函数图象，直接写出a的取值范围______．

【推荐1】如图1，平面直角坐标系中，直线y=kx+b与x轴交于点A（6，0），与y轴交于点B，与直线y=2x交于点C（a，4）．
（1）求点C的坐标及直线AB的表达式；
（2）如图2，在x轴上有一点E，过点E作直线⊥x轴，交直线y=2x于点F，交直线y=kx+b于点G，若GF的长为3．求点E的坐标；
（3）在y轴上是否存在一点F，使以O、C、F为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，直接写出点F的坐标；若不存在，说明理由．

【推荐2】某种型号的电热水器工作过程如下：在接通电源以后，从初始温度20下加热水箱中的水，当水温达到设定温度60时，加热停止；此后水箱中的水温开始逐渐下降，当下降到保温温度30时，再次自动加热水箱中的水至60，加热停止；当水箱中的水温下降到30时，再次自动加热，……，按照以上方式不断循环．小宇根据学习函数的经验，对该型号电热水器水箱中的水温随时间变化的规律进行了探究，发现水温是时间的函数，其中（单位：）表示水箱中水的温度，（单位：）表示接通电源后的时间．下面是小宇的探究过程，请补充完整：
（1）小宇记录了从初始温度20第一次加热至设定温度60，之后水温冷却至保温温度30的过程中，随的变化情况，如下表所示：

接通电源后的时间（）	0	2	4	8	10	12	14	16	18	20	…
水箱中水的温度（）	20	30	40	60	51	45	40	36	33	30

①请写出一个符合加热阶段与关系的函数解析式______________；
②根据该电热水器的工作特点，当第二次加热至设定温度60时，距离接通电源的时间为________．
（2）根据上述的表格，小宇画出了当时的函数图象，请根据该电热水器的工作特点，帮他画出当时的函数图象．

（3）已知适宜人体沐浴的水温约为，小宇在上午8点整接通电源，水箱中水温为20，热水器开始按上述模式工作，若不考虑其他因素的影响，请问在上午9点30分时，热水器的水温______（填“是”或“否”）适合他沐浴，理由是_________________．

【推荐3】如图，在中， ， ，，点 D 是边 上的动点（点 D 与点 A、B 不重合），过点 D 作 交射线 于点 E，联结 ，点 F是 的中点，联结、、 ．

(1)当点 E在边 上（点 E与点C不重合）时，
①设， ，求出y关于x的函数关系式及定义域；
②当平分时，求出的长；
③求证： 是等边三角形．
(2)如果，请直接写出的长

【推荐1】如图，在矩形中，点是对角线上一动点，连接，作分别交于点，于点 ．
(1)如图1，若恰好平分，求证：；
(2)如图2，若，取的中点，连接交于点 ．
求证：①；②．

【推荐2】问题背景：如图（1），在和中，，，求证：；
尝试应用：如图（2），在和中，，，连接，点F是的中点．判定以B，D，F为顶点的三角形的形状，并证明你的结论；
拓展创新：如图（3），在中，，，将绕点A逆时针旋转得到，连接．若点E是的中点，连接，直接写出的最大值．

【推荐3】如图，在△ABC中，AB=AC=6，BC=8，点D是BC边上的一个动点，点E在AC上，点D在运动过程中始终保持∠1=∠B，设BD的长为x（0＜x＜8）．

（1）求证：△DCE∽△ABD；
（2）用含x的代数式表示CE的长；当CE=2时，求x的值；
（3）当x为何值时，△ADE为等腰三角形（直接写出结果）．