【推荐1】已知正方形ABCD，一等腰直角三角板的一个锐角顶点与A重合，将此三角板绕A点旋转时，两边分别交直线BC、CD于M、N.
（1）当M、N分别在边BC、CD上时（如图1），求证：BM+DN=MN；

（2）当M、N分别在边BC、CD所在的直线上时（如图2，图3），线段BM、DN、MN之间又有怎样的数量关系，请直接写出结论；

（3）在图3中，作直线BD交直线AM、AN于P、Q两点，若MN=10，CM=8，求AP的长.

【推荐2】如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，点P、Q分别从A、B两点出发，按逆时针方向沿矩形的边运动，点P的速度是每秒2个单位长度，点Q的速度是每秒1个单位长度，运动的时间为t秒，当其中某一点到达点A时，运动停止，运动过程中，点P关于直线AQ的对称点记为点M．
(1)当P点在线段AB上运动，点Q在线段BC上运动时，请用含t的式子表示出△APQ的面积S；
(2)当点P在线段BC上运动，且△ABP∽△PCQ时，求t的值；
(3)若点Q在线段CD上，且以A、P、Q、M为顶点的四边形是菱形，求t的值．

【推荐1】在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=﹣x²+2bx﹣3的对称轴为直线x=2．
（1）求b的值；
（2）在y轴上有一动点P（0，m），过点P作垂直y轴的直线交抛物线于点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），其中x₁＜x₂．
①当x₂﹣x₁=3时，结合函数图象，求出m的值；
②把直线PB下方的函数图象，沿直线PB向上翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象W，新图象W在0≤x≤5时，﹣4≤y≤4，求m的取值范围．

【推荐2】已知函数y＝﹣x²+bx+c（其中b，c是常数）
（1）四位同学在研究此函数时，甲发现当x＝0时，y＝5；乙发现函数的最大值为9；丙发现函数图象的对称轴是直线x＝2；丁发现4是方程﹣x²+bx+c＝0的一个根．已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，请直接写出错误的那个人是谁，并求出此函数表达式；
（2）在（1）的条件下，函数y＝﹣x²+bx+c的图象顶点为A，与x轴正半轴交点为B，与y轴的交点为C，若将该图象向下平移m（m＞0）个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC的内部（不包括△ABC的边界），求m的取值范围；
（3）若c＝b²，当﹣2≤x≤0时，函数y＝﹣x²+bx+c的最大值为5，求b的值．

【推荐3】已知二次函数的解析式为．
(1)求该二次函数的顶点坐标（用含k的式子表示）；
(2)若已知，，该二次函数的图象和线段有两个交点，结合函数图象，求k的取值范围．