【推荐1】如图1，在矩形ABCD中，E是CB延长线上一个动点，F、G分别为AE、BC的中点，FG与ED相交于点H．

（1）求证：HE＝HG；
（2）如图2，当BE＝AB时，过点A作AP⊥DE于点P，连接BP，求的值；

【推荐2】如图，在矩形中，，，，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为，连接，设运动时间为比，请解答下列问题：

（1）当为何值时，？
（2）设四边形的面积为，求与的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻，使，，三点在同一直线上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

【推荐3】问题情境：
如图1，M是线段AB上任意一点（不与点A，B重合），分别以AM和BM为斜边在AB同侧构造等腰直角三角形AMC和等腰直角三角形BMD，连接CD，取AB中点E，CD中点F，连接EF．
   
(1)观察猜想：如图2，当点M与点E重合时，EF与CD之间的数量关系为______；
(2)延伸探究：如图3，当点M与点E不重合时，问题（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
(3)应用提升：如图3，若，线段EF是否存在最小值？若存在，请直接写出最小值；若不存在，请说明理由．

【推荐1】如图，在平面直角坐标系内，O为原点，点A的坐标为（﹣3，0），经过A、O两点作半径为的⊙C，交y轴的负半轴于点B．

（1）求B点的坐标；
（2）过B点作⊙C的切线交x轴于点D，求直线BD的解析式．

【推荐3】如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB=AC，D是优弧BC上的一个动点，连结AD交BC于点E，连结BD.

（1）若AE=2，DE=8，求AC的长;
（2）若D是优弧BC上中点时，求证：.

【推荐1】如图，小明利用学到的数学知识测量大桥主架在水面以上的高度，在观测点处测得大桥主架顶端的仰角为30°，测得大桥主架与水面交汇点的俯角为14°，观测点与大桥主架的水平距离为60米，且垂直于桥面．（点在同一平面内）

（1）求大桥主架在桥面以上的高度；（结果保留根号）
（2）求大桥主架在水面以上的高度．（结果精确到1米）
（参考数据）

【推荐2】如图，在正方形中，，点G在边上，连接，作于点E，于点F，连接、，设，，．

（1）求证：；
（2）求证：；
（3）若点G从点B沿边运动至点C停止，求点E，F所经过的路径与边围成的图形的面积．