【推荐1】如图1，抛物线，点A(4，)，对称轴是直线．顶点为D．抛物线与轴交于点，连接，过点作轴于点B，点是线段上的动点（点不与、两点重合）．

(1)求抛物线的函数解析式和顶点D的坐标；
(2)若直线DE将四边形OBAC分成面积比为的两个四边形，求点的坐标；
(3)如图2，连接，作矩形BEFG，在点的运动过程中，是否存在点落在轴上的同时点也恰好落在抛物线上？若存在，求出此时的长；若不存在，请说明理由．

【推荐2】如图，抛物线交x轴于A、B点（A在B的左侧），交y轴于C点
（1）当a＝0时，y轴正半轴上一点P（0，4）
①试求出A、B、C三点的坐标，并指出这三点中，无论a取何值，该点的坐标均不会改变的点是哪一个？
②若过P点的直线与抛物线有且只有一个交点Q，试求△PQB的面积．
（2）若记P（0，t）（P位于C点上方），过P分别作直线与抛物线只有唯一交点，分别记作PM、PN，M与N分别是交点，直线MN交y轴于D，试求的值．

【推荐3】如图，在△ABC中，∠C＝45°，BC＝10，高AD＝8，矩形EFPQ的一边QP在BC边上，E、F两点分别在AB、AC上，AD交EF于点H．

(1)求证：；
(2)设EF＝x，当x为何值时，矩形EFPQ的面积最大？并求其最大值；
(3)当矩形EFPQ的面积最大时，该矩形EFPQ以每秒1个单位的速度沿射线QC匀速运动（当点Q与点C重合时停止运动），设运动时间为t秒，矩形EFFQ与△ABC重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式．