【推荐1】如图1，把一个含45°角的直角三角板ECF和一个正方形ABCD摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C重合，点E、F分别在正方形的边CB、CD上，连AF 取AF的中点M，EF的中点N，连接MD、MN．

(1)请判断MD与MN之间的数量关系，直接写出结论；
(2)将图1中的直角三角板ECF绕点C顺时针旋转180°得到图2，其他条件不变，则（1）中的结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．
(3)连接DN，若AB＝3，CE＝2，将图1中的直角三角板ECF绕点C在平面内自由旋转，其他条件不变，请直接写出△DMN面积的最大值和最小值．

【推荐2】如图12，四边形ABCD是正方形，点E，K分别在BC，AB
上，点G在BA的延长线上，且CE=BK=AG.
⑴求证：①DE=DG；②DE⊥DG；
⑵尺规作图：以线段DE，DG为边作出正方形DEFG（要求：只保留作图痕迹，不写作法和证明）；
⑶连接⑵中的KF，猜想并写出四边形CEFK是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想；
⑷当时，请直接写出的值.

【推荐3】如图，在平面直角坐标系中，∠ACO＝90°，∠AOC＝30°，分别以AO、CO为边向外作等边三角形△AOD和等边三角形△COE，DF⊥AO于F，连DE交AO于G．
（1）求证：△DFG≌△EOG；
（2）H为AD的中点，连HG，求证：CD＝2HG；
（3）在（2）的条件下，AC＝4，若M为AC的中点，求MG的长．

【推荐1】如图1，P是线段AB上的一点，在AB的同侧作△APC和△BPD，使PC=PA，PD=PB，∠APC=∠BPD，连接CD，点E、F、G、H分别是AC、AB、BD、CD的中点，顺次连接E、F、G、H．
(1)猜想四边形EFGH的形状，直接回答，不必说明理由；
(2)当点P在线段AB的上方时，如图2，在△APB的外部作△APC和△BPD，其他条件不变，（1）中的结论还成立吗？说明理由；
(3)如果（2）中，∠APC=∠BPD=90°，其他条件不变，先补全图3，再判断四边形EFGH的形状，并说明理由．

【推荐2】如图，在矩形中，点在边上，将沿折叠，使点落在边上的点处，过点作，交于点，连接．

(1)判断四边形的形状，并说明理由.
(2)若，，求四边形的面积．

【推荐3】如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，连接AF、BE交于点G，连接CE、DF交于点H.
（1）求证：四边形EGFH为平行四边形；
（2）当=        时，四边形EGFH为矩形．

【推荐2】如图，是的直径，弦与相交于点，与相切于点，交的延长线于点，．
（1）求的度数；
（2）求的长度．

【推荐3】如图，四边形ABCD中，AB＝AD＝CD，以AB为直径的⊙O经过点C，连接AC，OD交于点E．
（1）证明：OD∥BC；
（2）若AD是⊙O的切线，连接BD交于⊙O于点F，连接EF，且OA＝1，求EF的长．

【推荐1】已知，在中，弦，连接、；

（1）如图1，求证：；
（2）如图2，在线段上取点，连接并延长交于点，交于点，，连接、、，，求的正切值；
（3）如图3，在（2）的条件下，交于点，，，求线段的长．

【推荐2】已知，如图1，中，，是平面内不与、、重合的任意一点，，．

（1）求证：≌；
（2）如图2，当点是的外接圆圆心时，请判断四边形的形状，并证明你的结论．

【推荐3】如图甲，在平面直角坐标系中，直线y=x+8分别交x轴、y轴于点A、B，⊙O的半径为2个单位长度．点P为直线y=x+8上的动点，过点P作⊙O的切线PC、PD，切点分别为C、D，且PC⊥PD．

（1）试说明四边形OCPD的形状（要有证明过程）；
（2）求点P的坐标；
（3）如图乙，若直线y=x+b将⊙O的圆周分成两段弧长之比为1：3，请直接写出b的值
（4）向右移动⊙O（圆心O始终保持在x轴上），试求出当⊙O与直线y=x+8有交点时圆心O的横坐标m的取值范围．