某客户准备在家中安装一套净水系统，该系统为二级过滤，使用寿命为十年如图所示两个二级过滤器采用并联安装，再与一级过滤器串联安装.
其中每一级过滤都由核心部件滤芯来实现在使用过程中，一级滤芯和二级滤芯都需要不定期更换（每个滤芯是否需要更换相互独立）.若客户在安装净水系统的同时购买滤芯，则一级滤芯每个160元，二级滤芯每个80元.若客户在使用过程中单独购买滤芯则一级滤芯每个400元，二级滤芯每个200元.现需决策安装净水系统的同时购买滤芯的数量，为此参考了根据100套该款净水系统在十年使用期内更换滤芯的相关数据制成的图表，其中表1是根据100个一级过滤器更换的滤芯个数制成的频数分布表，图2是根据200个二级过滤器更换的滤芯个数制成的条形图.
表1：一级滤芯更换频数分布表
图2：二级滤芯更换频数条形图
以100个一级过滤器更换滤芯的频率代替1个一级过滤器更换滤芯发生的概率，以200个二级过滤器更换滤芯的频率代替1个二级过滤器更换滤芯发生的概率.
（1）求一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为16的概率；
（2）记
表示该客户的净水系统在使用期内需要更换的二级滤芯总数，求的分布列及数学期望；
（3）记
分别表示该客户在安装净水系统的同时购买的一级滤芯和二级滤芯的个数.若
，且
，以该客户的净水系统在使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为决策依据，试确定的值.
其中每一级过滤都由核心部件滤芯来实现在使用过程中，一级滤芯和二级滤芯都需要不定期更换（每个滤芯是否需要更换相互独立）.若客户在安装净水系统的同时购买滤芯，则一级滤芯每个160元，二级滤芯每个80元.若客户在使用过程中单独购买滤芯则一级滤芯每个400元，二级滤芯每个200元.现需决策安装净水系统的同时购买滤芯的数量，为此参考了根据100套该款净水系统在十年使用期内更换滤芯的相关数据制成的图表，其中表1是根据100个一级过滤器更换的滤芯个数制成的频数分布表，图2是根据200个二级过滤器更换的滤芯个数制成的条形图.
表1：一级滤芯更换频数分布表
| 一级滤芯更换的个数 | 8 | 9 |
| 频数 | 60 | 40 |
图2：二级滤芯更换频数条形图
以100个一级过滤器更换滤芯的频率代替1个一级过滤器更换滤芯发生的概率，以200个二级过滤器更换滤芯的频率代替1个二级过滤器更换滤芯发生的概率.
（1）求一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为16的概率；
（2）记
表示该客户的净水系统在使用期内需要更换的二级滤芯总数，求的分布列及数学期望；（3）记
分别表示该客户在安装净水系统的同时购买的一级滤芯和二级滤芯的个数.若，且，以该客户的净水系统在使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为决策依据，试确定的值.
更新时间：2020-04-10 22:18:03
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【推荐1】甲有一个装有
个红球、
个黑球的箱子，乙有一个装有
个红球、
个黑球的箱子，两人各自从自己的箱子里任取一球，并约定:所取两球同色时甲胜，异色时乙胜（，，，
）．
(Ⅰ)当
,时，求甲获胜的概率；
（Ⅱ）当
，
时，规定：甲取红球获胜得3分；取黑球获胜得1分；甲负得0分．求甲的得分期望达到最大时的，值；
（Ⅲ）当
时，这个游戏规则公平吗？请说明理由．
个红球、个黑球的箱子，乙有一个装有个红球、个黑球的箱子，两人各自从自己的箱子里任取一球，并约定:所取两球同色时甲胜，异色时乙胜（，，，）．(Ⅰ)当
,时，求甲获胜的概率；（Ⅱ）当
，时，规定：甲取红球获胜得3分；取黑球获胜得1分；甲负得0分．求甲的得分期望达到最大时的，值；（Ⅲ）当
时，这个游戏规则公平吗？请说明理由．
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【推荐2】无论是国际形势还是国内消费状况，2023年都是充满挑战的一年，为应对复杂的经济形势，各地均出台了促进经济发展的各项政策，积极应对当前的经济形势，取得了较好的效果.某市零售行业为促进消费，开展了新一轮的让利促销的活动，活动之初，利用各种媒体进行大量的广告宣传，为了解传媒对本次促销活动的影响，在本市内随机抽取了6个大型零售卖场，得到其宣传费用x（单位：万元）和销售额y（单位：万元）的数据如下：
(1)求y关于x的线性回归方程，并预测当宣传费用至少多少万元时（结果取整数），销售额能突破100万元；
(2)经济活动中，人们往往关注投入和产出比，在这次促销活动中，设销售额与投入的宣传费用的比为
，若
，称这次宣传策划是高效的；否则为非高效的.从这6家卖场中随机抽取3家.
①若抽取的3家中含有宣传策划高效的卖场，求抽取的3家中恰有一家是宣传策划高效的概率；
②若抽取的3家卖场中宣传策划高效的有X家，求X的分布列和数学期望.
附：参考数据
，回归直线方程
中
和
的最小二乘法的估计公式分别为：
，
.
| 卖场 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 宣传费用 | 2 | 3 | 5 | 6 | 8 | 12 |
| 销售额 | 30 | 34 | 40 | 45 | 50 | 60 |
(2)经济活动中，人们往往关注投入和产出比，在这次促销活动中，设销售额与投入的宣传费用的比为
，若，称这次宣传策划是高效的；否则为非高效的.从这6家卖场中随机抽取3家.①若抽取的3家中含有宣传策划高效的卖场，求抽取的3家中恰有一家是宣传策划高效的概率；
②若抽取的3家卖场中宣传策划高效的有X家，求X的分布列和数学期望.
附：参考数据
，回归直线方程中和的最小二乘法的估计公式分别为：，.
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【推荐3】已知甲、乙两名工人在同样条件下每天各生产100件产品，且每生产1件正品可获利20元，生产1件次品损失30元，甲，乙两名工人100天中出现次品件数的情况如表所示.
（1）将甲每天生产的次品数记为（单位：件），日利润记为（单位：元），写出与的函数关系式；
（2）如果将统计的100天中产生次品量的频率作为概率，记表示甲、乙两名工人1天中各自日利润不少于1950元的人数之和，求随机变量的分布列和数学期望.
| 甲每天生产的次品数/件 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| 对应的天数/天 | 40 | 20 | 20 | 10 | 10 |
| 乙每天生产的次品数/件 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| 对应的天数/天 | 30 | 25 | 25 | 20 |
（单位：件），日利润记为（单位：元），写出与的函数关系式；（2）如果将统计的100天中产生次品量的频率作为概率，记
表示甲、乙两名工人1天中各自日利润不少于1950元的人数之和，求随机变量的分布列和数学期望.
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【推荐1】某生产企业研发了一种新产品，该新产品在某网店试销一个阶段后得到销售单价和月销售量之间的一组数据，如下表所示：
（1）根据统计数据，求出关于的回归直线方程，并预测月销售量不低于12万件时销售单价的最大值；
（2）生产企业与网店约定：若该新产品的月销售量不低于10万件，则生产企业奖励网店1万元；若月销售量不低于8万件且不足10万件，则生产企业奖励网店5000元；若月销售量低于8万件，则没有奖励.现用样本估计总体，从上述5个销售单价中任选2个销售单价，下个月分别在两个不同的网店进行销售，求这两个网店下个月获得奖励的总额的分布列及其数学期望.
参考公式：对于一组数据
，
，…，
，其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为
，.
参考数据：
，
.
和月销售量之间的一组数据，如下表所示：| 销售单价（元） | 9 | 9.5 | 10 | 10.5 | 11 |
| 月销售量（万件） | 11 | 10 | 8 | 6 | 5 |
关于的回归直线方程，并预测月销售量不低于12万件时销售单价的最大值；（2）生产企业与网店约定：若该新产品的月销售量不低于10万件，则生产企业奖励网店1万元；若月销售量不低于8万件且不足10万件，则生产企业奖励网店5000元；若月销售量低于8万件，则没有奖励.现用样本估计总体，从上述5个销售单价中任选2个销售单价，下个月分别在两个不同的网店进行销售，求这两个网店下个月获得奖励的总额
的分布列及其数学期望.参考公式：对于一组数据
，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.参考数据：
，.
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【推荐2】新疆棉以绒长、品质好、产量高著称于世．现有两类以新疆长绒棉为主要原材料的均码服装，A类服装为含棉90%的服饰，成本价为120元/件，总量中有30%将按照原价200元/件的价格销售给非会员顾客，有50%将按照8.5折的价格销售给会员顾客．B类服装为全棉服饰，成本价为160元/件，总量中有20%将按照原价300元/件的价格销售给非会员顾客，有40%将按照8.5折的价格销售给会员顾客．这两类服装剩余部分将会在换季促销时按照6折的价格销售给顾客，并能全部售完．
(1)通过计算比较这两类服装单件收益的期望．
(2)某服装专卖店店庆当天，全场A，B两类服装均以会员价销售．假设每位来店购买A，B两类服装的顾客只选其中一类购买，每位顾客限购1件，且购买了服装的顾客中购买A类服装的概率为
．已知该店店庆当天这两类服装共售出5件，设X为该店当天所售服装中B类服装的件数，Y为当天销售这两类服装带来的总收益，求EY及当
时，n可取的最大值．
(1)通过计算比较这两类服装单件收益的期望．
(2)某服装专卖店店庆当天，全场A，B两类服装均以会员价销售．假设每位来店购买A，B两类服装的顾客只选其中一类购买，每位顾客限购1件，且购买了服装的顾客中购买A类服装的概率为
．已知该店店庆当天这两类服装共售出5件，设X为该店当天所售服装中B类服装的件数，Y为当天销售这两类服装带来的总收益，求EY及当时，n可取的最大值．
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解题方法
【推荐3】食品安全问题越来越受到人们的重视．某超市在购进某种水果之前，要求食品安检部门对每箱水果进行三轮各项指标的综合检测，只有三轮检测都合格，这种水果才能在该超市销售．已知每箱这种水果第一轮检测不合格的概率为
，第二轮检测不合格的概率为
，第三轮检测不合格的概率为
，每轮检测只有合格与不合格两种情况，且各轮检测互不影响．
(1)求每箱这种水果能在该超市销售的概率；
(2)若这种水果能在该超市销售，则每箱可获利300元，若不能在该超市销售，则每箱亏损100元，现有4箱这种水果，求这4箱水果总收益的分布列和数学期望
．
，第二轮检测不合格的概率为，第三轮检测不合格的概率为，每轮检测只有合格与不合格两种情况，且各轮检测互不影响．(1)求每箱这种水果能在该超市销售的概率；
(2)若这种水果能在该超市销售，则每箱可获利300元，若不能在该超市销售，则每箱亏损100元，现有4箱这种水果，求这4箱水果总收益
的分布列和数学期望．
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