【推荐1】已知椭圆E 的左、右焦点为，过 的直线交椭圆于，两点，的周长为.
(1)求椭圆 的方程;
(2)点，分别为椭圆的上、下顶点，过直线上任意一点 作直线 和 ，分别交椭圆于 ，两点.证明：直线 过定点.

【推荐2】已知椭圆的离心率为，过其左焦点的直线交椭圆于两点，且当直线轴时，.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设为椭圆的右焦点，求满足的直线的方程.

【推荐3】如图，已知离心率为的椭圆的左右顶点分别为､，是椭圆上异于､的一点，直线､分别交直线于､两点.直线与轴交于点，且.

(1)求椭圆的方程；
(2)若线段的中点为，问在轴上是否存在定点，使得当直线､的斜率､存在时，为定值？若存在，求出点的坐标及的值；若不存在，请说明理由.

【推荐1】已知椭圆的左、右顶点分别为，左焦点为，过点作x轴的垂线与T在第二象限的交点为的面积为，且．
(1)求T的方程；
(2)已知点P为直线上一动点，过点P向T作两条切线，切点分别为．求证：直线恒过一定点Q，并求出点Q的坐标．

【推荐2】在平面直角坐标系中，已知椭圆：的左右焦点分别为，，点P为椭圆上的动点，△的面积的最大值为，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线相切.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线过定点且与椭圆交于不同的两点A，B，点M是椭圆的右顶点，直线AM，BM分别与y轴交于P，Q两点，试问：以线段PQ为直径的圆是否过x轴上的定点?若是，求出定点坐标；若不是，说明理由.

【推荐3】已知：椭圆的焦点在轴上，左焦点与短轴两顶点围成面积为的等腰直角三角形，直线与椭圆交于不同两点、（、都在轴上方），且.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）当为椭圆与轴正半轴的交点时，求直线的方程；
（3）对于动直线，是否存在一个定点，无论如何变化，直线总经过此定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由.