【推荐1】定义：对于一个项数为的数列，若存在且，使得数列的前k项和与剩下项的和相等（若仅为1项，则和为该项本身），我们称该数列是“等和数列”.例如：因为，所以数列3，2，1是“等和数列”.请解答以下问题：
（1）判断数列2，-4，6，-8是否是“等和数列”，请说明理由；
（2）已知等差数列共有项（，且为奇数），，的前项和满足.判断是不是“等和数列”，并证明你的结论.
（3）是公比为q项数为的等比数列，其中.判断是不是“等和数列”，并证明你的结论.

【推荐2】已知数列的通项公式为，，记….
（1）求的值；
（2）求所有正整数n，使得能被8整除.

【推荐3】若无穷数列满足：①对任意，；②存在常数M，对任意，，则称数列为“T数列”.
（1）若数列的通项为，证明：数列为“T数列”；
（2）若数列的各项均为正整数，且数列为“T数列”，证明：对任意，；
（3）若数列的各项均为正整数，且数列为“T数列”，证明：存在，数列为等差数列.

【推荐1】对于各项均为正数的无穷数列，记，给出下列定义：
①若存在实数，使成立，则称数列为“有上界数列”；
②若数列为有上界数列，且存在，使成立，则称数列为“有最大值数列”；
③若，则称数列为“比减小数列”．
（1）根据上述定义，判断数列是何种数列？
（2）若数列中，，，求证：数列既是有上界数列又是比减小数列；
（3）若数列是单调递增数列，且是有上界数列，但不是有最大值数列，求证：，．

【推荐2】已知一列函数，设直线与的交点为，点在轴和直线上的射影分别为，记的面积为，的面积为.
（1）求的最小值，并指出此时的取值；
（2）在中任取一个函数，求该函数在上是增函数或在上是减函数的概率；
（3）是否存在正整数，使得成立，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.

【推荐3】已知数列的前项和为，且，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若对任意的恒成立，求实数的最小值．

【推荐1】对于无穷数列，，若，，则称是的“收缩数列”.其中，分别表示中的最大数和最小数.已知为无穷数列，其前项和为，数列是的“收缩数列”.
（1）若，求的前项和；
（2）证明：的“收缩数列”仍是；
（3）若且，，求所有满足该条件的.

【推荐2】已知函数，若存在常数，对任意都有，则称函数为T倍周期函数.
（1）判断是否是T倍周期函数，并说明理由；
（2）证明是T倍周期函数，且T的值是唯一的；
（3）若是2倍周期函数，，，表示的前n项和，，若恒成立，求a的取值范围.

【推荐3】已知数列满足条件：，且是公比为的等比数列，设.
（1）求出使不等式成立的的取值范围；
（2）求和，其中；
（3）设，求数列的最大项和最小项的值.