【推荐1】已知椭圆的离心率为，短轴长为4，直线AB过原点O交椭圆于A，B，，直线，分别交椭圆于C，D，且直线，交于点M，图中所有直线的斜率都存在.

（1）求椭圆方程；
（2）求证：
（3）求的值.

【推荐2】设、分别是椭圆的左、右焦点，若_____，
请在以下两个条件中任选一个补充在横线上并作答．
①四点、、、中，恰有三点在椭圆上；
②椭圆经过点，与轴垂直，且．
（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分）.
(1)求椭圆的离心率；
(2)设是椭圆的上顶点，过任作两条互相垂直的直线分别交椭圆于、两点，过点作线段的垂线，垂足为，判断在轴上是否存在定点，使得的长度为定值？并证明你的结论.

【推荐3】已知椭圆的左右焦点分别为，点为椭圆上异于顶点的一动点，的角平分线分别交轴、轴于点．
(1)若，求；
(2)求证：为定值；
(3)当面积取到最大值时，求点的横坐标．

【推荐1】已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线与椭圆相交于，两点．
（1）当直线的斜率时，求的面积；
（2）当时，求的取值范围．

【推荐2】已知椭圆：（）的左､右焦点分别为，，点在椭圆上，且.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)是否存在过点的直线，交椭圆于，两点，使得？若存在，求直线的方程，若不存在，请说明理由.

【推荐3】已知椭圆的离心率为，、为它的左、右焦点，上顶点为，若的面积为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）直线交椭圆于、两点，若点始终在以为直径的圆内，求实数的取值范围．