【推荐1】已知椭圆的右焦点为，短轴长为2.过点且不平行于坐标轴的直线与椭圆交于两点，线段的中点为.
(1)求椭圆的方程；
(2)证明：直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值；
(3)延长线段与椭圆交于点，若四边形为平行四边形，求此时直线的斜率及四边形的面积.

【推荐2】在平面直角坐标系中，设椭圆（）的离心率是e，定义直线为椭圆的“类准线”，已知椭圆C的“类准线”方程为，长轴长为4.
（1）求椭圆C的方程；
（2）点P在椭圆C的“类准线”上（但不在y轴上），过点P作圆O：的切线l，过点O且垂直于的直线l交于点A，问点A是否在椭圆C上？证明你的结论.

【推荐3】已知椭圆方程为，左，右焦点分别为，上顶点为A，是面积为4的直角三角形.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过作直线与椭圆交于P，Q两点，若，求面积的取值范围.

【推荐1】已知椭圆C：（且）的焦点为，，点P为短轴顶点，且.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若椭圆C的焦点在x轴上，直线l：（k，）与椭圆C交于A，B两点，且与的斜率之积为，是否存在实数使得的面积为定值？若存在，求出该定值；若不存在，说明理由.

【推荐2】如图，过椭圆的左右焦点，分别作长轴的垂线，交椭圆于，，，，将，两侧的椭圆弧删除再分别以，为圆心，，线段的长度为半径作半圆，这样得到的图形称为“椭圆帽”.夹在，之间的部分称为椭圆帽的“帽体段”，夹在，两侧的部分称为椭圆帽的“帽檐段”.已知左右两个帽檐段所在的圆方程分别为.

(1)求“帽体段”的方程；
(2)记“帽体段”所在椭圆为C，过点的直线与椭圆C交于A，B两点，在x轴上是否存在一个定点，使得为定值？若存在，求出M点的坐标；若不存在，说明理由.

【推荐3】坐标系中，已知椭圆的其中一个顶点坐标为B（0，1），且点在上.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与椭圆交于M，N且，求证：为定值.