【推荐1】如图，已知椭圆分别是长轴的左、右两个端点，是右焦点．椭圆C过点，离心率为．

(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线上有两个点，且，连接交椭圆C于另一点P（不同于点），证明：三点共线．

【推荐2】设椭圆的离心率为，直线与以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆相切．
   
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线与椭圆交于不同的两点，以线段为直径作圆．若圆与轴相交于不同的两点，求的面积；

【推荐3】已知椭圆的离心率为，短轴长为4.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点作两条直线，分别交椭圆于，两点（异于点）.当直线，的斜率之和为定值时，直线是否恒过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.

【推荐1】已知椭圆C：()的离心率，且点在椭圆上.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若椭圆C的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆位于x轴上方的部分，直线与y轴交于点D，点E是y轴上一点，满足，直线与椭圆C交于点G.若的面积为，求直线的方程.

【推荐2】如图，定义：以椭圆中心为圆心，长轴为直径的圆叫做椭圆的“辅助圆”.过椭圆第四象限内一点M作x轴的垂线交其“辅助圆”于点N，当点N在点M的下方时，称点N为点M的“下辅助点”.已知椭圆E：上的点的下辅助点为（1，﹣1）.

（1）求椭圆E的方程；
（2）若△OMN的面积等于，求下辅助点N的坐标；
（3）已知直线l：x﹣my﹣t＝0与椭圆E交于不同的A，B两点，若椭圆E上存在点P，满足，求直线l与坐标轴围成的三角形面积的最小值.

【推荐3】已知两点，动点在轴上的投影是，且.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）过作互相垂直的两条直线交轨迹于，且分别是的中点.求证：直线恒过定点.