【推荐1】已知椭圆：是离心率为，顶点，，中心到直线的距离为.
（1）求椭圆方程；
（2）设椭圆上一动点满足：，其中是椭圆上的点，直线与的斜率之积为，若为一动点，，为两定点，求的值.

【推荐2】已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，A，B分别为椭圆的左顶点和下顶点，且的面积为1．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设点M为椭圆上位于第一象限内一动点，直线与轴交于点C，直线与轴交于点D，求证：四边形的面积为定值．

【推荐3】已知椭圆的方程为，在椭圆上，离心率，左、右焦点分别为，．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）直线与椭圆交于，两点，连接，并延长交椭圆于，两点，连接，求与之间的函数关系式．

【推荐1】已知椭圆C：的离心率，点F是椭圆C的右焦点，点F到直线的距离为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设动直线l与坐标轴不垂直，l与椭圆C交于不同的M，N两点，若直线FM和FN的斜率互为相反数，试探究：动直线l是否恒过x轴上的某个定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.

【推荐2】已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点是椭圆的一个顶点，是等腰直角三角形．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点分别作直线，交椭圆于A，两点，设两直线，的斜率分别为，，且，证明：直线过定点．

【推荐3】已知椭圆的左、右焦点分别为F₁、F₂，短轴端点分别为A、B，且四边形F₁AF₂B是边长为2的正方形
（I）求椭圆的方程；
（II）若C、D分别是椭圆长轴的左、右端点，动点M满足，连结CM交椭圆于P，证明为定值（O为坐标原点）；
（III）在（II）的条件下，试问在x轴上是否存在异于点C的定点Q，使以线段MP为直径的圆恒过直线DP、MQ的交点，若存在，求出Q的坐标，若不存在，说明理由