【推荐1】2020年11月初，旨在打造永不落幕的国家级钓鱼大赛和永久性国家级垂钓基地的“武夷山水·圣农杯”全国郊野钓鱼大赛在福建省南平市建阳区举行，来自全国各地的800支专业队（每队2人）分别在38个水域参赛，这38个水域按照水深由浅到深分别编号为1~38号，其中1~24号为浅水区，25~38号为深水区．现从这800支专业队中随机抽取100支统计所钓鱼总质量的数据如下：

钓鱼总质量（kg）
专业队数量（支）	6	15	24	26	20	9

（1）经统计，在浅水区有67支专业队，并把每队钓鱼总质量高于60kg归为钓鱼总质量多，低于或等于60kg归为钓鱼总质量少，钓鱼总质量多的专业队中有12支在深水区，完成下面2×2列联表，并判断能否有85%的把握认为每队钓鱼总质量多少与水域的深浅有关？

	钓鱼总质量少	钓鱼总质量多	合计
在浅水区的专业队数量
在深水区的专业队数量
合计			100

（2）若本次郊野钓鱼大赛每支专业队被安排在深水区参赛的概率为，现从这800支专业队中随机抽取3支专业队，设在深水区参赛的有支专业队，求和随机变量的数学期望．
参考公式及数据：，其中．

【推荐2】为调查人们在购物时的支付习惯，某超市对随机抽取的600名顾客的支付方式进行了统计，数据如下表所示：

支付方式	微信	支付宝	购物卡	现金
人数	200	150	150	100

现有甲、乙、丙三人将进入该超市购物，各人支付方式相互独立，假设以频率近似代替概率.
（1）求三人中使用微信支付的人数多于现金支付人数的概率；
（2）记为三人中使用支付宝支付的人数，求的分布列及数学期望.

【推荐3】为了解学生喜欢校内、校外开展活动的情况，某中学一课外活动小组在学校高一年级进行了问卷调查，问卷共道题，每题分，总分分，该课外活动小组随机抽取了名学生的问卷成绩（单位：分）进行统计，将数据按，，，，分成五组，绘制的频率分布直方图如图所示，若将不低于分的称为类学生，低于分的称为类学生．
（1）根据已知条件完成下面列联表，能否在犯错误的概率不超过的前提下认为性别与是否为类学生有关系？

	类	类	合计
男
女
合计

（2）将频率视为概率，现在从该校高一学生中用随机抽样的方法每次抽取人，共抽取次，记被抽取的人中类学生的人数为，若每次抽取的结果是相互独立的，其的分布列、期望和方差．
参考公式：，其中．

参考临界值：

【推荐1】一 测量学校内､外建筑物的高度项目的过程性评价
[目的] 给出过程性评价，体现如何让学生在交流过程中展现个性､学会交流､归纳总结，发现问题､积累经验､提升素养．
[评价过程] 在每一个学生都完成“测量报告”后，安排交流讲评活动．安排讲评的报告应当有所侧重．例如，测量结果准确，测量过程清晰，测量方法有创意，误差处理得当，报告书写认真等；或误差明显而学生自己没有察觉，测量过程中构建的模型有待商榷等．事实表明，这种形式的交流讲评，往往是数学建模过程中学生收获最大的环节．
附件：某个小组的研究报告的展示片段摘录．
测量不可及“理想大厦”的方法
1．两次测角法
（1）测量并记录测量工具距离地面h m；
（2）用大量角器，将一边对准大厦的顶部，计算并记录仰角α；
（3）后退a m，重复（2）中的操作，计算并记录仰角β；
（4）楼高x的计算公式为：
x=+h，
其中α，β，a，h如图所示．

两次测角法示意图
2．镜面反射法
（1）将镜子(平面镜)置于平地上，人后退至从镜中能够看到房顶的位置，测量人与镜子的距离；
（2）将镜子后移a m，重复（1）中的操作；
（3）楼高x的计算公式为x=，其中a₁，a₂是人与镜子的距离，a是两次观测时镜面之间的距离，h是人的“眼高”，如图所示．根据光的反射原理，利用相似三角形的性质联立方程组，可以得到这个公式．

镜面反射法示意图
实际测量数据和计算结果，测量误差简要分析．
（1）两次测角法
实际测量数据：

	第一次	第二次
仰角	67°	52°

后退距离为25 m，人的“眼高”为1．5 m，计算可得理想大厦的高度约为71．5 m，结果与期望值(70 m~80 m)相差不大．误差的原因是铅笔在纸板上画出度数时不够精确．减小误差的方法是几个人分别测量高度及仰角，再求平均值，误差就能更小．
（2）镜面反射法
实际测量数据：

	第一次	第二次
人与镜子的距离	3．84 m	3．91 m

镜子的相对距离10 m，人的“眼高”为1．52 m．计算可得理想大厦的高度约为217 m，结果与期望值相差较大．
产生误差有以下几点原因：
镜面放置不能保持水平；
两次放镜子的相对距离太短，容易造成误差；
人眼看镜内物像时，两次不一定都看准镜面上的同一个点；
人体不一定在两次测量时保证高度不变．
综上所述，要做到没有误差很难，但可以通过某些方法使误差更小，我们准备用更多的测量方法找出理想的结果．
对上面的测量报告，教师和同学给出评价．例如，对测量方法，教师和同学评价均为“优”，因为对不可及的测量对象选取了两种可行的测量方法；对测量结果，教师评价为“良”，同学评价为“中”，因为两种方法得到的结果相差较大．
对测量结果的评价，教师和同学产生差异的原因是，教师对测量过程的部分项目实施加分，包括对自制测量仰角的工具等因素作了误差分析；同学则进一步分析产生误差的主要原因，包括：
（1）测量工具问题．两次测角法的同学，自制量角工具比较粗糙，角度的刻度误差较大；镜面反射法的同学，选用的镜子尺寸太大，造成镜间距测量有较大误差．
（2）间距差的问题．这是一个普遍的问题．间距差a值是测量者自己选定的，因为没有较长的卷尺测量距离，有的同学甚至选间距差a是1 m．由于间距太小，两次测量的角度差或者人与镜的距离差太小，最终导致计算结果产生巨大误差．当学生意识到了这个问题后，他们利用运动场100 m跑道的自然长度作为间距差a，使得测量精度得到较大提高．
（3）不少学生用自己的身高代替“眼高”，反映了学生没有很好地理解测量过程中的“眼高”应当是测量的高度，如照片所示．
在结题交流过程中，教师通过测量的现场照片，引导学生发现问题，让学生分析测量误差产生的原因．学生们在活动中意识到，书本知识和实践能力的联系与转化是有效的学习方式．
测量现场的照片和观察说明：

照片	说明
	测量角的工具(量角器)太小，造成仰角的测量误差很大． 用腕尺法测量时，腕尺应与地面垂直，手臂水平，否则就没有相似的直角三角形． 用镜子反射法时，要保持镜面水平，否则入射三角形和反射三角形就不相似．
	测量仰角的工具好：把一个量角器放在复印机上放大4倍复印．在中心处绑上一个铅垂，这样测量视线和铅垂线之间的夹角可以在图上直接读出，这个角是待测仰角的余角．
	测量工具好：用自行车来测距离，解决了皮尺长度不够的问题．

[分析] 建模活动的评价要关注结果，更要关注过程．
对测量方法和结果的数学评价可以占总评价的60%，主要由教师作评价．评价依据是现场观察和学生上交的测量报告，关注的主要评价点有：
（1）测量模型是否有效；
（2）计算过程是否清晰准确，测量结果是否可以接受；
（3）测量工具是否合理､有效；
（4）有创意的测量方法(可获加分)；
（5）能减少测量误差的思考和做法(可获加分)；
（6）有数据处理的意识和做法(可获加分)；
……
非数学的评价可以占总评价的40%，主要评价点有：
（1）每一名成员在小组测量和计算过程中的工作状态；
（2）测量过程中解决困难的机智和办法；
（3）讨论发言､成果汇报中的表现等．
非数学的评价主要是在同学之间进行，可以要求学生给出本小组以外其他汇报小组的成绩，并写出评价的简单理由．
二 黄金数的应用
班   级：高三(   )班
指导老师：
组   长：
组   员：
研究背景：黄金数不仅仅是那简简单单的一串数字，它在美术､建筑甚至是人的饮食都可以起到作用．那些世界建筑大师设计的作品中常常会用到黄金数的知识．我们在数学､物理､化学､生物及美学中都存在很多的最好､最优化的问题，如何实现最优化从而达到我们的要求，使得我们在各方面都能取得很好的成绩．
研究目的和意义：
1．培养学生对数学的学习兴趣；
2．提高学习的查找､分析､集中能力；
3．拓宽学生的知识面，感受古代数学家高超的证题思想和刻苦钻研的精神；
4．通过集体配合较好完成对本课题的研究，增加同学间团结合作的精神．
研究分工：搜集整理资料；撰写研究方案；写开题报告；撰写结题报告．
研究步骤：查阅资料､实际调查､计算､总结．
预期成果：在这次研究性学习中，我们组成员互相合作，共同完成了这一课题研究．从中我们了解到黄金数不仅仅是那简简单单的一串数字，它在美术､建筑甚至是人的饮食都可以起到作用．那些世界建筑大师设计的作品中常常会用到黄金数的知识．
研究结果：
一､黄金数的发展“历史”
黄金数是公元前六世纪古希腊数学家毕达哥拉斯所发现的．一天，毕达哥拉斯从一家铁匠铺路过，被铺子中那有节奏的叮叮当当的打铁声所吸引，便停下来仔细聆听，似乎这声音中隐匿着什么秘密．他走进作坊，拿出一把尺量了一下铁锤和铁砧的尺寸，发现它们之间存在着一种十分和谐的关系．回到家里，毕达哥拉斯拿出一根线，想将它分为两段．怎样分才最好呢？经过反复比较，他最后确定1∶0．618的比例截断最优美．
0．618在数学中叫黄金比值，又称黄金数．这是意大利著名画家达·芬奇给它的美称．其实数学上有许多几何图形蕴涵了黄金比，如五角星等．
代数上也有许多黄金数的知识，其中最有名的裴波那契数列，也就是1，1，3，5，8，13，21，34，55，89…，或许大家要问这里面没有黄金数啊，其实如果用前一项比后一项，它的比值将会在0．618上下波动，如果你有兴趣还可以算下去，最后你还会得到一个数，一个无限接近于黄金数的比值，不信你可以试一试．
二､黄金数的广泛应用
1．艺术中的黄金数
“0．618”，这个比值因具有美学价值而被古希腊美学家运用到造型艺术中，因为凡符合黄金分割律的形体总是最美的形体．在美术史上曾经把它作为经典法则来应用．有许多美术家运用它创造了不少不朽的名著．例如达·芬奇的《蒙娜丽莎》､拉斐尔笔下温和俊秀的圣母像，都有意无意地用上了这个比值．
黄金分割对摄影画面构图可以说有着自然联系．例如照相机的片窗比例：135相机就是24×36即2∶3的比例，这是很典型的．只要我们翻开影集看一看，就会发现，大多数的画幅形式，都是近似这个比例．
2．饮食､生活作息中的黄金数
“黄金分割”的比值为0．618，它不仅是美学造型方面常用的一个比值，也是一个饮食参数．日本人的平均寿命多年来稳居世界首位，合理的膳食是一个主要因素．在他们的膳食中，谷物､素菜､优质蛋白､碱性食物所占的比例基本上达到了黄金分割的比值．
医学专家分析后还发现，饭吃六七成饱的人几乎不生胃病．
还有喝5杯水．人体内的水分占体重的61．8%，不计出汗，每天失去和需要补充的水达2 500毫升．其中半固体食物供给的水和人体内部合成的水约1 500毫升，大约占61．8%．其余1 000毫升需要补充，才能保持水平衡．因此，每人一天要喝5杯水．
一天合理的生活作息也应该符合黄金分割，24小时中，2/3时间是工作与生活，1/3时间是休息与睡眠；在动与静的关系上，究竟是“生命在于运动”，还是“生命在于静养”？从辩证观和大量的生活实践证明，动与静的关系同一天休息与工作的比例一样，动四分，静六分，才是最佳的保健之道．掌握与运用好黄金分割，可使人体节约能耗，延缓衰老，提高生命质量．
3．植物中的黄金数
植物叶子，千姿百态，生机盎然，给大自然带来了美丽的绿色世界．
尽管叶子形状随种而异，但它在茎上的排列顺序(称为叶序)，却是极有规律的．你从植物茎的顶端向下看，经细心观察，发现上下层中相邻的两片叶子之间约为137．5°．如果每层叶子只画一片来代表，第一层和第二层的相邻两叶之间的角度差约是137．5°，以后二到三层，三到四层，四到五层……两叶之间都成这个角度数．植物学家经过计算表明：这个角度对叶子的采光､通风都是最佳的．叶子的排布，多么精巧叶子间的137．5°中，藏有什么“密码”呢？我们知道，一周是360°，360°-137．5°=222．5°，137．5°∶222．5°≈0．618．瞧，这就是“密码”!叶子的精巧而神奇的排布中，竟然隐藏着0．618．
有些植物的花瓣及主干上枝条的生长，也是符合这个规律的．
4．建筑中的黄金数
世界上最有名的建筑物中几乎都包含“黄金分割比”．遍布全球的众多优秀近现代建筑，尽管其风格各异，但在构图布局设计方面，都有意无意地运用了黄金分割的法则，给人以整体上的和谐与悦目之美．
举世闻名的巴特农神庙也是这样一个例子，神庙外部呈长方形，长228英尺，宽101英尺，有46根多立克式环列圆柱构成柱廊．
文明古国埃及的金字塔，形似方锥，大小各异．但这些金字塔底面的边长与高之比都接近于0．618，能使平直单调的塔身变得丰富多彩；在现代建筑中，一些摩天建筑中使用“黄金分割点”进行处理，在这类高层建筑物的黄金分割处布置腰线或装饰物，则可使整个楼群显得雄伟雅致．如举世闻名的法国巴黎埃菲尔铁塔､当今世界最高建筑之一的加拿大多伦多电视塔(553．33米)，都是根据黄金分割的原则来建造的．上海的东方明珠广播电视塔，塔身高达468米．为了美化塔身，设计师巧妙地在上面装置了晶莹耀眼的上球体､下球体和太空舱，既可供游人登高俯瞰地面景色，又使笔直的塔身有了曲线变化．更妙的是，上球体所选的位置在塔身总高度5∶8的地方，即从上球体到塔顶的距离，同上球体到地面的距离大约是5∶8这一符合黄金分割之比的安排，使塔体挺拔秀美，具有审美效果．
三､开展生活中实际调查的研究及成果
经过我们的讨论，我们觉得应该自己去寻找生活中的黄金数．
1．下面就是我们实地测量结果的统计表格，从中我们发现其实黄金数就在我们的身边．只要稍微留心一下便可发现它离我们的生活有多近!在生活中，只要我们善于观察，善于思考，将所学的知识与生活结合起来将会感到数学的乐趣，生活中处处都应用着数学的知识．

物品	宽(cm)	长(cm)	比值
教室墙体砖块	18	29	0．621
一片叶子	0．9	104	0．6428
学生	92	150	0．613
安中学生证	6．1	10	0．61
安中校园雕像	51	83	0．614
安中课桌	40	65	0．615

2．在实地调查､相关问题的访问､同学们之间互相交流讨论后，我们从中获得了不少的生活小知识．
如（1）报幕员应站在舞台的什么地方报幕最佳？
答：根据黄金分割，应站在舞台宽度的0．618处以站在舞台长度的黄金分割点的位置最美观，声音传播得最好．
（2）假如您打算买台25寸的国产彩色电视机，要想物美价廉，最佳价位是多少？
答：如上所述，要想确定最佳价格，我们得知道同一品牌的最高价与最低价，然后根据公式：(最高价位-最低价位)×0．618+最低价位=最佳价位．
以下是我们的调查结果

名牌	高档的价格(元)	低档的价格(元)	最佳的价格(元)
长虹彩电	1 350	1 280	1320
创维彩电	1 295	1100	1 221

（3）请问在夏季，人们为什么格外留恋春天的感觉？
答：人在春季感到舒畅，那是因为这时的环境温度正好在22至24摄氏度之间，而这种气温与人的正常体温37摄氏度正呈现微妙之处：人的正常体温37摄氏度与0．618的乘积为22．8摄氏度，人在这一环境温度中，机体的新陈代谢､生理活动均处于最佳状态．
四､问题与建设
在这次研究性学习中，我们组成员互相合作，共同完成了这一课题研究．从中我们了解到黄金数不仅仅是那简简单单的一串数字，它在美术､建筑甚至是人的饮食都可以起到作用．那些世界建筑大师设计的作品中常常会用到黄金数的知识．
在研究中，当然也会遇到各种无法预料的问题．刚开始，大家对于黄金数的知识都很缺乏，只是带着一份好奇去探询其中的奥秘，而且黄金数的资料学校图书馆比较缺乏，网上资料又是十分杂乱，对于信息需要筛选，留下对课题研究有用的部分．在学习大量资料以后，我们渐渐了解了黄金数，我们惊奇地发现小小的“黄金数”竟然有这么多神奇的应用!既然知道了，我们就更应该在生活中使用黄金数，美化生活．

【推荐2】某市为筛查新冠病毒，需要检验核酸样本是否为阳性，现有且份核酸样本，可采用以下两种检验方式：①逐份检验：对k份样本逐份检验，需要检验k次；②混合检验：将k份样本混合在一起检验，若检验结果为阴性，则k份样本全为阴性，因而这k份样本只需检验1次；若检验结果为阳性，为了确定其中的阳性样本，就需重新采集核酸样本后再对这k份新样本进行逐份检验，此时检验总次数为k+1次.假设在接受检验的核酸样本中，每份样本的检验结果是相互独立的，且每份样本结果为阳性的概率是.
(1)若对k份样本采用逐份检验的方式，求恰好经过4次检验就检验出2份阳性的概率（结果用p表示）；
(2)若k=20，设采用逐份检验的方式所需的检验次数为X，采用混合检验的方式所需的检验次数为Y，试比较与的大小.

【推荐1】某公司计划在2020年年初将100万元用于投资，现有两个项目供选择．
项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为和；
项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，，．
(1)针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由；
(2)若市场预期不变，该投资公司按照（1）中选择的项目长期投资（每一年的利润和本金继续用作投资），问大约在哪一年的年底总资产（利润+本金）可以翻一番？
（参考数据，）

【推荐2】设甲、乙两家灯泡厂生产的灯泡寿命X、Y(单位：小时)，X和Y的分布列分别如表1和表2示：
表1：

X	900	1000	1100
P	0.1	0.8	0.1

表2：

Y	950	1000	1050
P	0.3	0.4	0.3

试问哪家工厂生产的灯泡质量较好？

【推荐3】某公司计划在年年初将万元用于投资，现有两个项目供选择．
项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利，也可能亏损，且这两种情况发生的概率分别为和；
项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利，可能损失，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为、、．
针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由.

【推荐2】某媒体对“男女延迟退休″这一公众关注的问题进行民意调查，如表是在某单位得到的数据：

	赞同	反对	合计
男	50	150	200
女	30	170	200
合计	80	320	400

（I）能否有97.5%的把握认为对这一问题的看法与性别有关？
（II）从赞同“男女延迟退休”的80人中，利用分层抽样的方法抽出8人，然后从中选出3人进行陈述发言，设发言的女士人数为X，求X的分布列和期望．
参考公式：

	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

【推荐3】社会生活日新月异，看纸质书的人越来越少，更多的年轻人（35岁以下）喜欢阅读电子书籍，他们认为电子书不仅携带方便，而且可以随时随地阅读，而年长者（35岁以上）更喜欢阅读纸质书.现在某书店随机抽取40名顾客进行调查，得到了如下列联表：

	年长者	年轻人	总计
喜欢阅读电子书		16	20
喜欢阅读纸质书	8
总计			40

(1)请将上面的列联表补充完整，并判断是否有90%的把握认为喜欢阅读电子书与年龄有关；
(2)若在年轻人中按照分层抽样的方法抽取了7人，为进一步了解情况，再从抽取的7人中随机抽取4人，求抽到喜欢阅读电子书的年轻人人数X的分布列及数学期望.
附：，其中.

	0.10	0.05	0.010	0.005
	2.706	3.841	6.635	7.879