【推荐1】已知椭圆：的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．
（1）求椭圆的方程；
（2）设，过点作与轴不重合的直线交椭圆于，两点，连接，分别交直线于，两点，若直线、的斜率分别为、，试问：是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．

【推荐2】已知椭圆的左、右焦点分别为，若焦距为4，点P是椭圆上与左、右顶点不重合的点，且的面积最大值.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点的直线交椭圆于点、，且满足（为坐标原点），求直线的方程.

【推荐3】已知椭圆的左､右焦点分别为是上一动点，的最大面积为.
(1)求的方程；
(2)若直线与交于两点，为上两点，且，求四边形面积的最大值.

【推荐1】已知椭圆的离心率为 ，且点在椭圆上．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点的直线与椭圆交于两点，已知，求直线的方程；
(3)点为椭圆上任意一点，过点作的切线与圆交于两点，设直线的斜率分别为． 证明：为定值，并求该定值．

【推荐2】已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为轴、轴，且的一个焦点为，并过点．
(1)求的方程．
(2)设，为的上、下顶点，，是椭圆上不同于，的两个动点．若直线与直线交于点，点满足轴，证明：直线过定点．

【推荐3】已知椭圆的焦距为4，且经过点.
(1)求的方程.
(2)过点的直线交于，两点，过点作直线的垂线，垂足为，过原点作，垂足为.证明：存在定点，使得为定值.

【推荐1】已知椭圆C：的左右顶点分别为A，B，坐标原点O与A点关于直线l：对称，l与椭圆第二象限的交点为C，且.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过A，O两点的圆Q与l交于M，N两点，直线BM，BN分别交椭圆C于异于B的E，F两点.求证：直线EF恒过定点.

【推荐2】已知椭圆，点是椭圆中心与该椭圆一个顶点的中点，点为椭圆与轴正半轴的顶点，且离心率为，过点的直线（与轴不重合）交椭圆于，两点．
(1)求椭圆的标准方程，并求面积的最大值；
(2)探究直线和直线的斜率之积是否为定值？若是，求出这个值，若不是请说明理由；
(3)若圆的方程为，直线，分别交圆于，两点，试证明：直线恒过定点．

【推荐3】已知过点的椭圆的离心率为. 如图所示，过椭圆右焦点的直线（不与轴重合）与椭圆相交于两点，直线与轴相交于点，过点A作，垂足为.

(1)求四边形为坐标原点的面积的最大值；
(2)求证：直线过定点，并求出点的坐标.