2021年6月17日9时22分，我国酒泉卫星发射中心用长征二号F遥十二运载火箭，成功将神舟十二号载人飞船送入预定轨道，顺利将聂海胜、刘伯明、汤洪波3名航天员送入太空，发射取得圆满成功，这标志着中国人首次进入自己的空间站.某公司负责生产的A型材料是神舟十二号的重要零件，该材料应用前景十分广泛，该公司为了将A型材料更好地投入商用，拟对A型材料进行应用改造，根据市场调研与模拟，得到应用改造投入x（亿元）与产品的直接收益y（亿元）的数据统计如下：
当
时，建立了y与x的两个回归模型：模型①
；模型②：
；当
时，确定y与x满足的线性回归直线方程为
，根据以上阅读材料，解答以下问题：
(1)根据下列表格中的数据，比较当时，模型①②中哪个模型拟合效果更好，并说明理由；
(2)当应用改造的投入为20亿元时，以回归直线方程为预测依据，计算公司的收益约为多少？
附：①
；②
，当时，
；③相关指数
的计算公式为：
.
| x | 2 | 3 | 4 | 6 | 8 | 10 | 13 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 |
| y | 15 | 22 | 27 | 40 | 48 | 54 | 60 | 68.5 | 68 | 67.5 | 66 | 65 |
时，建立了y与x的两个回归模型：模型①；模型②：；当时，确定y与x满足的线性回归直线方程为，根据以上阅读材料，解答以下问题：(1)根据下列表格中的数据，比较当
时，模型①②中哪个模型拟合效果更好，并说明理由；| 回归模型 | 模型① | 模型② |
| 回归方程 | | |
 | 79.13 | 20.2 |
附：①
；②，当时，；③相关指数的计算公式为：.
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云南省曲靖市2022届高三第二次教学质量监测数学（文）试题（已下线）2022年全国高考乙卷数学（文）试题变式题9-12题（已下线）2022年全国高考乙卷数学（文）试题变式题17-20题（已下线）8.2 一元线性回归模型及其应用(精讲）（3）
更新时间：2022-05-15 08:13:44
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【推荐1】习近平总书记在十九大报告中指出，必须树立和践行“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念，这将进一步推动新能源汽车产业的迅速发展.以下是近几年我国某新能源乘用车的年销售量数据及其散点图：
（1）某位同学根据以上数据和散点图，得出
与
的销售（万辆）两种回归模型①
，②
，请判断哪一种模型更适宜？（给出判断即可，不必说明理由）
（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程，并预测2020年我国某新能源采用车的销售量(精确到0.1).
（3）我们可以用来刻画模型的拟合效果，越接近于1，表示回归的效果越好，现由散点图的样本点分布，也可以认为样本点集中在曲线
的附近，用非线性回归模型求得关于的回归方程为
，且
.试与（2）中所求的回归模型比较，请用说明哪种模型的拟合效果更好.
附：最小二乘估计公式：
，
参考数据（下面的
，
）
，
，
，
，
| 年份 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 | 2019 |
| 分年代码 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 某新能源车年销量（万辆） | 1.5 | 5.9 | 17.7 | 32.9 | 55.6 |
（1）某位同学根据以上数据和散点图，得出
与的销售（万辆）两种回归模型①，②，请判断哪一种模型更适宜？（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立
关于的回归方程，并预测2020年我国某新能源采用车的销售量(精确到0.1).（3）我们可以用
来刻画模型的拟合效果，越接近于1，表示回归的效果越好，现由散点图的样本点分布，也可以认为样本点集中在曲线的附近，用非线性回归模型求得关于的回归方程为，且.试与（2）中所求的回归模型比较，请用说明哪种模型的拟合效果更好.附：最小二乘估计公式：
，参考数据（下面的
，），，，，
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【推荐2】为了对某班学生的数学、物理成绩进行分析，从该班25位男同学，15位女同学中随机抽取一个容量为8的样本．
(1)如果按性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本？（只要求写出算式，不必计算出结果）；
(2)若这8人的数学成绩从小到大排序是：65，68，72，79，81，88，92，95．物理成绩从小到大排序是：72，77，80，84，86，90，93，98．
①求这8人中恰有3人数学、物理成绩均在85分以上的概率（结果用分数表示）；
②已知随机抽取的8人的数学成绩和物理成绩如下表：
若以数学成绩为解释变量，物理成绩为预报变量，求关于的线性回归方程（系数精确到0.01）；并求数学成绩对于物理成绩的贡献率（精确到0.01）．
参考公式：相关系数
，
回归方程
，其中
，
，
参考数据：
，
,
.
(1)如果按性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本？（只要求写出算式，不必计算出结果）；
(2)若这8人的数学成绩从小到大排序是：65，68，72，79，81，88，92，95．物理成绩从小到大排序是：72，77，80，84，86，90，93，98．
①求这8人中恰有3人数学、物理成绩均在85分以上的概率（结果用分数表示）；
②已知随机抽取的8人的数学成绩和物理成绩如下表：
| 学生编号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| 数学成绩 | 65 | 68 | 72 | 79 | 81 | 88 | 92 | 95 |
| 物理成绩 | 72 | 77 | 80 | 84 | 86 | 90 | 93 | 98 |
，物理成绩为预报变量，求关于的线性回归方程（系数精确到0.01）；并求数学成绩对于物理成绩的贡献率（精确到0.01）．参考公式：相关系数
，回归方程
，其中，，参考数据：
， ,.
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解题方法
【推荐3】“城市公交”泛指城市范围内定线运营的公共汽车及轨道交通等交通方式，也是人们日常出行的主要方式.某城市的公交公司为了方便市民出行，科学规划车辆投放，在一个人员密集流动地段增设一个起点站，为了研究车辆发车间隔时间与乘客等候人数之间的关系，经过调查得到如下数据：
(1)根据以上数据，易知可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明；
(2)建立关于的回归直线方程，并预测车辆发车间隔时间为14分钟时乘客的等候人数.
附：对于一组数据
，
，…，
，其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为
，；相关系数
；
.
与乘客等候人数之间的关系，经过调查得到如下数据：间隔时间（ | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 |
等候人数（ | 12 | 15 | 18 | 22 | 18 |
与的关系，请用相关系数加以说明；(2)建立
关于的回归直线方程，并预测车辆发车间隔时间为14分钟时乘客的等候人数.附：对于一组数据
，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，；相关系数；.
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解题方法
【推荐1】据气象局统计，某市2019年从1月1日至1月30日这30天里有26天出现雾霾天气.国际上通常用环境空气质量指数（AQI）来描述污染状况，下表是某气象观测点记录的连续4天里，该市AQI指数
与当天的空气水平可见度
的情况.
（1）设
，根据表中的数据，求出关于的回归方程；
（2）若某天该市AQT指数
，那么当天空气水平可见度大约为多少？
附：参考数据：
，
.
参考公式：线性回归方程中，
，
，其中
为样本平均数.
与当天的空气水平可见度的情况.| AQI指数 | 900 | 700 | 300 | 100 |
| 空气水平可见度 | 0.5 | 3.5 | 6.5 | 9.5 |
，根据表中的数据，求出关于的回归方程；（2）若某天该市AQT指数
，那么当天空气水平可见度大约为多少？附：参考数据：
，.参考公式：线性回归方程
中，，，其中为样本平均数.
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适中
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解题方法
【推荐2】最近青少年的视力健康问题引起习主席的高度重视，某地区为了解当地24所小学，24所初中和12所高中的学生的视力状况，准备采用分层抽样的方法从这些学校中随机抽取5所学校对学生进行视力调查．
(1)若从所抽取的5所学校中再随机抽取3所学校进行问卷调查，求抽到的这3所学校中，小学、初中、高中分别有一所的概率；
(2)若某小学被抽中，调查得到了该小学前五个年级近视率y的数据如下表：
根据前五个年级的数据，利用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程，并根据方程预测六年级学生的近视率．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法，估计公式分别为
，
参考数据：
，
.
(1)若从所抽取的5所学校中再随机抽取3所学校进行问卷调查，求抽到的这3所学校中，小学、初中、高中分别有一所的概率；
(2)若某小学被抽中，调查得到了该小学前五个年级近视率y的数据如下表：
年级号x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
近视率y | 0.05 | 0.09 | 0.16 | 0.20 | 0.25 |
附：回归直线
的斜率和截距的最小二乘法，估计公式分别为，参考数据：
，.
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【推荐3】某高科技公司对其产品研发年投资额x（单位：百万元）与其年销售量y（单位：千件）的数据进行统计，整理后得到如下统计表1和散点图．
表1：
(1)求年销售量y关于年投资额x的线性回归方程；
(2)该公司科研团队通过进一步分析散点图的特征后，计划用
作为年销售量y关于年投资额x的非线性回归方程，请根据表2的数据，求出此方程；
表2：
(3)根据
，
及表3数据，请用决定系数比较（1）和（2）中回归方程的拟合效果哪个更好？
表3：
参考公式：
，，
．
表1：
| x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| y | 0.5 | 1 | 1.5 | 3 | 5.5 |
(1)求年销售量y关于年投资额x的线性回归方程；
(2)该公司科研团队通过进一步分析散点图的特征后，计划用
作为年销售量y关于年投资额x的非线性回归方程，请根据表2的数据，求出此方程；表2：
| x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
 |  | 0 | 0.4 | 1.1 | 1.7 |
，及表3数据，请用决定系数比较（1）和（2）中回归方程的拟合效果哪个更好？表3：
| n | 2 | 3 | 4 | 5 |
 的近似值 | 3.2 | 5.8 | 10.5 | 18.9 |
，，．
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名校
解题方法
【推荐1】为弘扬劳动精神，树立学生“劳动最美，劳动最光荣”的观念，某校持续开展“家庭劳动大比拼”活动
某班统计了本班同学
月份的人均月劳动时间
单位：小时
，并建立了人均月劳动时间
关于月份
的线性回归方程
，与的原始数据如表所示：
由于某些原因导致部分数据丢失，但已知
．
(1)求
，
的值；
(2)求该班
月份人均月劳动时间数据的残差值残差即样本数据与预测值之差．
参考公式：在线性回归方程
中，
．
某班统计了本班同学月份的人均月劳动时间单位：小时，并建立了人均月劳动时间关于月份的线性回归方程，与的原始数据如表所示：| 月份 |  |  |  |  |  | |  |
| 人均月劳动时间 |  |  | |  | |  |  |
．(1)求
，的值；(2)求该班
月份人均月劳动时间数据的残差值残差即样本数据与预测值之差．参考公式：在线性回归方程
中，．
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【推荐2】某同学在研究性学习中，收集到某制药厂今年前5个月甲胶囊生产产量（单位：万盒）的数据如下表所示：
(1)该同学为了求出关于的线性回归方程，根据表中数据已经正确计算出
，试求出
的值，并估计该厂6月份生产的甲胶囊产量数；
(2)若某药店现有该制药厂今年二月份生产的甲胶囊4盒和三月份生产的甲胶囊5盒，小红同学从中随机购买了3盒甲胶囊.后经了解发现该制药厂今年二月份生产的所有甲胶囊均存在质量问题.记小红同学所购买的3盒甲胶囊中存在质量问题的盒数为
，求的分布列和数学期望.
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 4 | 4 | 5 | 6 | 6 |
关于的线性回归方程，根据表中数据已经正确计算出，试求出的值，并估计该厂6月份生产的甲胶囊产量数；(2)若某药店现有该制药厂今年二月份生产的甲胶囊4盒和三月份生产的甲胶囊5盒，小红同学从中随机购买了3盒甲胶囊.后经了解发现该制药厂今年二月份生产的所有甲胶囊均存在质量问题.记小红同学所购买的3盒甲胶囊中存在质量问题的盒数为
，求的分布列和数学期望.
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【推荐3】今有一组数据如下表：
由最小二乘法求得点
的回归直线方程是，其中
.
(1)求
的值，并求回归直线方程；
(2)设
，我们称
为点
的残差，记为
.
从所给的点中任取两个，求其中有且只有一个点的残差绝对值不大于1的概率.
参考公式:
.
 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
 | 90 | 84 | 83 | | 75 | 68 |
的回归直线方程是，其中.(1)求
的值，并求回归直线方程；(2)设
，我们称为点的残差，记为. 从所给的点
中任取两个，求其中有且只有一个点的残差绝对值不大于1的概率. 参考公式:
.
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