【推荐2】已知椭圆：， 过点的直线：与椭圆交于M、N两点（M点在N点的上方），与轴交于点E.
（1）当且时，求点M、N的坐标；
（2）当时，设，，求证：为定值，并求出该值；
（3）当时，点D和点F关于坐标原点对称，若△MNF的内切圆面积等于，求直线的方程.

【推荐3】已知圆：的圆心为，圆：的圆心为，一动圆与圆内切，与圆外切.
(1)求动圆圆心的轨迹方程；
(2)过点的直线与曲线交于，两点，点是直线上任意点，直线，，的斜率分别为，，，试探求，，的关系，并给出证明.

【推荐1】已知椭圆的上顶点为，且T与椭圆E的两个焦点构成一个等腰直角三角形．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）若不过点的动直线与E交于点A，B，点满足求T到直线距离的最大值．

【推荐2】已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，直线与椭圆交于两点，且的周长最大值为8．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知点是椭圆上一动点（不与端点重合），分别为椭圆的左右顶点，直线交轴于点，若与的面积相等，求直线的方程．

【推荐3】法国数学家加斯帕尔·蒙日是19世纪著名的几何学家，他创立了画法几何学，推动了空间解析几何学的独立发展，奠定了空间微分几何学的宽厚基础，根据他的研究成果，我们定义：给定椭圆：，则称圆心在原点，半径是的圆为“椭圆的伴随圆”，已知椭圆的一个焦点为，其短轴的一个端点到焦点的距离为.

(1)若点为椭圆的“伴随圆”与轴正半轴的交点，，是椭圆的两相异点，且轴，求的取值范围.
(2)在椭圆的“伴随圆”上任取一点，过点作直线，，使得，与椭圆都只有一个交点，试判断，是否垂直？并说明理由.

【推荐1】已知椭圆的两个焦点为、，是与的等差中项，其中、、都是正数，过点和的直线与原点的距离为.
（1）求椭圆的方程；
（2）点是椭圆上一动点，定点，求△面积的最大值；
（3）已知定点，直线与椭圆交于、相异两点.证明：对任意的，都存在实数，使得以线段为直径的圆过点.

【推荐2】如图，椭圆（）的离心率为，直线和所围成的矩形的面积为．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若为椭圆上任意一点，为坐标原点，为线段的中点，求点的轨迹方程；
（Ⅲ）已知，若过点的直线交点的轨迹于，两点，且，求直线的斜率的取值范围．

【推荐3】已知椭圆（）经过点，且离心率为．：的任意一切线与椭圆交于，两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在，使得，若存在，求的面积的范围；不存在，请说明理由．