【推荐1】已知直线，与交点轨迹为.
（1）求的方程；
（2）点是曲线上的点，是曲线上的动点，且满足直线斜率与直线斜率和为，求直线的斜率.

【推荐2】椭圆E的方程为，左、右顶点分别为，，点P为椭圆E上的点，且在第一象限，直线l过点P
(1)若直线l分别交x，y轴于C，D两点，若，求的长；
(2)若直线l过点，且交椭圆E于另一点Q（异于点A，B），记直线与直线交于点M，试问点M是否在一条定直线上？若是，求出该定直线方程；若不是，说明理由．

【推荐3】如图，已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上，过原点的直线与椭圆相交于、两点，且.
（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设，，过点且斜率不为零的直线与椭圆相交于、两点，证明：.

【推荐1】已知，是椭圆的左、右焦点，弦经过点，若，，且的面积为2．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线，与轴交于点，与椭圆交于，两点，线段的垂直平分线与轴交于点，求的取值范围．

【推荐2】已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率，点是椭圆上的一个动点，面积的最大值是．
（1）求椭圆的方程；
（2）若是椭圆上不重合的四点，与相交于点，，且，求此时直线的方程．

【推荐3】已知椭圆：的左、右顶点分别为、，点在椭圆上，且直线的斜率与直线的斜率之积为．
(1)求椭圆的方程；
(2)若圆的切线与椭圆交于、两点，求的最大值及此时直线的斜率．

【推荐1】已知椭圆的左、右焦点分别为、，过右焦点且斜率为的直线交椭圆于A，B两点，N为弦AB的中点，且ON的斜率为.
(1)求椭圆C的离心率e的值；
(2)若，l为过椭圆C的右焦点且斜率不为零的直线，直线l交椭圆C于点P，Q，求内切圆面积的最大值.

【推荐2】动点与两定点，的连线的斜率之积为，动点的轨迹为．
(1)求的方程；
(2)过点的直线与交于，两点，直线与轴交于点，为坐标原点，求四边形的面积的最大值．

【推荐3】（1）若动点到定点的距离与到定直线：的距离之比为，求证：动点的轨迹是椭圆；
（2）设（1）中的椭圆短轴的上顶点为，试找出一个以点为直角顶点的等腰直角三角形，并使得、两点也在椭圆上，并求出的面积；
（3）对于椭圆(常数)，设椭圆短轴的上顶点为，试问：以点为直角顶点，且、两点也在椭圆上的等腰直角三角形有几个？

【推荐1】已知椭圆C：的离心率为，两焦点与短轴两顶点围成的四边形的面积为．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)我们称圆心在椭圆C上运动，半径为的圆是椭圆C的“卫星圆”，过原点O作椭圆C的“卫星圆”的两条切线，分别交椭圆C于A，B两点，若直线OA，OB的斜率存在，记为，．
①求证：为定值；
②试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

【推荐2】已知圆，圆，动圆与圆内切并且与圆外切，圆心的轨迹为曲线.
(1)求的方程；
(2)已知曲线与轴交于两点，过动点的直线与交于 (不垂直轴)，过作直线交于点且交轴于点，若构成以为顶点的等腰三角形，证明：直线的斜率之积为定值.

【推荐3】已知椭圆和圆：,过椭圆上一点引圆的两条切线，切点分别为．
(1)①若圆过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率；
②若椭圆上存在点，使得，求椭圆离心率的取值范围；
(2)设直线与轴、轴分别交于点，求证：为定值．