如图，已知椭圆
的离心率为
，以该椭圆上的任意一点和椭圆的左､右焦点
，
为顶点的三角形的周长为6，双曲线
的顶点是椭圆
的焦点，离心率为
.设
为双曲线上异于顶点的任一点，直线
和
与椭圆的交点分别为
和
，
.
(1)求椭圆和双曲线的标准方程；
(2)设直线､的斜率分别为
､
，求证：
为定值；
(3)是否存在常数
，使得
恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
的离心率为，以该椭圆上的任意一点和椭圆的左､右焦点，为顶点的三角形的周长为6，双曲线的顶点是椭圆的焦点，离心率为.设为双曲线上异于顶点的任一点，直线和与椭圆的交点分别为和，.(1)求椭圆
和双曲线的标准方程；(2)设直线
､的斜率分别为､，求证：为定值；(3)是否存在常数
，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
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（已下线）3.2.2 双曲线的几何性质（难点）-2022-2023学年高二数学《基础·重点·难点 》全面题型高分突破（苏教版2019选择性必修第一册）
更新时间：2023-03-01 18:16:46
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(0.4)
解题方法
【推荐1】已知双曲线
的左右顶点分别为
，
，且点
到的渐近线的距离为
.
(1)求的方程；
(2)异于，
的两点，在上，若直线
在
轴上的截距是直线
在轴上截距的2倍，证明：直线
过定点，并求出定点坐标.
的左右顶点分别为，，且点到的渐近线的距离为.(1)求
的方程；(2)异于
，的两点，在上，若直线在轴上的截距是直线在轴上截距的2倍，证明：直线过定点，并求出定点坐标.
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解题方法
【推荐2】已知双曲线
的左、右焦点分别为
，从下面3个条件中选出2个作为已知条件，并回答下面的问题：
①点
在双曲线上；②点
在双曲线上，
，且
；③双曲线的一条渐近线与直线
垂直.
(1)求双曲线的方程；
(2)设分别为双曲线的左、右顶点，过点
的直线
与双曲线交于
两点，若
，求直线的斜率.
的左、右焦点分别为，从下面3个条件中选出2个作为已知条件，并回答下面的问题：①点
在双曲线上；②点在双曲线上，，且；③双曲线的一条渐近线与直线垂直.(1)求双曲线
的方程；(2)设
分别为双曲线的左、右顶点，过点的直线与双曲线交于两点，若，求直线的斜率.
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的中心为原点
，点
上任意一点，点
.
的值；
，过点
，证明点
解答题-问答题
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较难
(0.4)
解题方法
【推荐1】已知椭圆
，离心率
，P为椭圆上一点，分别为椭圆的左、右焦点，若
的周长为
，
(1)求椭圆E的方程；
(2)若
，M，N为椭圆上不同的两点，且
，证明椭圆上存在定点Q使得四边形
为平行四边形．
，离心率，P为椭圆上一点，分别为椭圆的左、右焦点，若的周长为，(1)求椭圆E的方程；
(2)若
，M，N为椭圆上不同的两点，且，证明椭圆上存在定点Q使得四边形为平行四边形．
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名校
解题方法
【推荐2】已知，为椭圆：
的左、右焦点，与抛物线
：
有相同的焦点，与交于，两点，且四边形
的面积为
．
(1)求的方程；
(2)设斜率存在的直线经过
，且与交于，两点，线段
上是否存在一点
，同时满足下面两个条件，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
①
；
②
取得最小值．
，为椭圆：的左、右焦点，与抛物线：有相同的焦点，与交于，两点，且四边形的面积为．(1)求
的方程；(2)设斜率存在的直线
经过，且与交于，两点，线段上是否存在一点，同时满足下面两个条件，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．①
；②
取得最小值．
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的离心率为
，以C的短轴为直径的圆与直线
相切．直线l过右焦点F且不平行于坐标轴，l与C有两交点A，B，线段
的斜率与l的斜率的乘积为定值；
为平行四边形，求此时直线l的斜率．
【推荐1】已知是椭圆上的两点，
关于原点
对称，是椭圆上异于的一点，直线和
的斜率满足
.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若斜率存在且不经过原点的直线交椭圆于
两点
异于椭圆的上、下顶点），当
的面积最大时，求
的值.
是椭圆上的两点，关于原点对称，是椭圆上异于的一点，直线和的斜率满足.(1)求椭圆
的标准方程；(2)若斜率存在且不经过原点的直线
交椭圆于两点异于椭圆的上、下顶点），当的面积最大时，求的值.
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【推荐2】已知
，
，曲线上的任意一点满足：
.
(1)求点的轨迹方程；
(2)过点的直线与曲线交于两点，交轴于点，设
，
，试问
是否为定值？如果是定值，请求出这个定值，如果不是定值，请说明理由.
，，曲线上的任意一点满足：.(1)求点
的轨迹方程；(2)过点
的直线与曲线交于两点，交轴于点，设，，试问是否为定值？如果是定值，请求出这个定值，如果不是定值，请说明理由.
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的焦点．
、
是椭圆上的两点，
面积的最大值；
、
与
轴始终围成一个以底边在
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【推荐1】已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，点
，
在椭圆上．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若椭圆的左、右顶点分别为
，
，，为椭圆上异于，的两点，直线不过且不与坐标轴垂直，点关于原点的对称点为
，直线
与直线
相交于点
，证明：直线
与直线的交点在定直线上．
的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，点，在椭圆上．(1)求椭圆
的标准方程；(2)若椭圆
的左、右顶点分别为，，，为椭圆上异于，的两点，直线不过且不与坐标轴垂直，点关于原点的对称点为，直线与直线相交于点，证明：直线与直线的交点在定直线上．
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解题方法
【推荐2】已知椭圆
的左、右顶点分别为
，上顶点为，且
．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)点
，为坐标原点，为椭圆上的两个动点，线段
的中点在直线
上，求
面积的最大值．
的左、右顶点分别为，上顶点为，且．(1)求椭圆
的标准方程；(2)点
，为坐标原点，为椭圆上的两个动点，线段的中点在直线上，求面积的最大值．
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，过右焦点
的弦交椭圆于M，N两点，直线NO交椭圆于另一点P．
，且
，求
面积的最大值．
