已知正四面体
的棱长为3
.
(1)已知点E是CD的中点，点P在
的内部及边界上运动，且满足
平面
，试求点P的轨迹；
(2)有一个小虫从点A开始按以下规则前进：在每一个顶点处等可能地选择通过这个顶点的三条棱之一，并且沿着这条棱爬到尽头，当它爬了12之后，求恰好回到A点的概率.
的棱长为3.(1)已知点E是CD的中点，点P在
的内部及边界上运动，且满足平面，试求点P的轨迹；(2)有一个小虫从点A开始按以下规则前进：在每一个顶点处等可能地选择通过这个顶点的三条棱之一，并且沿着这条棱爬到尽头，当它爬了12
之后，求恰好回到A点的概率.
更新时间：2023-03-21 19:03:09
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解答题-证明题
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适中
(0.65)
名校
解题方法
【推荐1】在五面体
中，面为平行四边形，
，且
，
为棱
的中点. 
的中点为
，证明：平面
平面
；
(2)请画出过点
，，
的平面与平面的交线
，证明
．
中，面为平行四边形，，且，为棱的中点. 
的中点为，证明：平面平面；(2)请画出过点
，，的平面与平面的交线，证明．
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解答题-问答题
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解题方法
【推荐2】如图所示，在多面体
中，
，
，
均垂直于平面
，
，
，
，
，
，分别为
，的中点.
（1）证明：
平面
；
（2）求点到平面
的距离.
中，，，均垂直于平面，，，，，，分别为，的中点.（1）证明：
平面；（2）求点
到平面的距离.
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，
平面
，
.
平面
；
的体积.
解答题-问答题
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解题方法
【推荐1】为了提高学生的艺术修养，复兴中学在高一、高二年级开设美术和音乐两类艺术选修课程，其中美术类有3门课程，音乐类有2门课程，要求每位同学在4个学期任意修完其中4门不同的课程，每学期选修1门.
(1)根据高一上学期学生选修艺术课程种类的抽样统计数据（如下表）判断，是否有
的把握认为学生选修美术类或音乐类课程与性别有关？说明理由；
(2)设事件
表示第i学年上、下两个学期选择相同艺术种类的选修课程，比较
和
的大小.
附：
，其中
.
(1)根据高一上学期学生选修艺术课程种类的抽样统计数据（如下表）判断，是否有
的把握认为学生选修美术类或音乐类课程与性别有关？说明理由；| 美术类 | 音乐类 | 合计 | |
| 男生 | 40 | 20 | 60 |
| 女生 | 20 | 20 | 40 |
| 合计 | 60 | 40 | 100 |
表示第i学年上、下两个学期选择相同艺术种类的选修课程，比较和的大小.附：
，其中. | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.01 |
 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 6.635 |
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名校
【推荐2】根据调查，某学校开设了“街舞”、“围棋”、“武术”三个社团，三个社团参加的人数如下表所示：
为调查社团开展情况，学校社团管理部采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为n的样本，已知从“围棋”社团抽取的同学比从“街舞”社团抽取的同学少2人.
（1）求三个社团分别抽取了多少同学；
（2）若从“围棋”社团抽取的同学中选出2人担任该社团活动监督的职务，已知“围棋”社团被抽取的同学中有2名女生，求至少有1名女同学被选为监督职务的概率．
| 社团 | 街舞 | 围棋 | 武术 |
| 人数 | 320 | 240 | 200 |
为调查社团开展情况，学校社团管理部采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为n的样本，已知从“围棋”社团抽取的同学比从“街舞”社团抽取的同学少2人.
（1）求三个社团分别抽取了多少同学；
（2）若从“围棋”社团抽取的同学中选出2人担任该社团活动监督的职务，已知“围棋”社团被抽取的同学中有2名女生，求至少有1名女同学被选为监督职务的概率．
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解答题-应用题
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名校
【推荐3】2023年11月，世界首届人工智能峰会在英国举行，我国因为在该领域取得的巨大成就受邀进行大会发言.为了研究不同性别的学生对人工智能的了解情况，我市某著名高中进行了一次抽样调查，分别抽取男､女生各50人作为样本.设事件
“了解人工智能”，
“学生为男生”，据统计
.
(1)根据已知条件，填写下列
列联表，是否有
把握推断该校学生对人工智能的了解情况与性别有关？
(2)①现从所抽取的女生中利用分层抽样的方法抽取20人，再从这20人中随机选取3人赠送科普材料，求选取的3人中至少有2人了解人工智能的概率；
②将频率视为概率，从我市所有参与调查的学生中随机抽取20人科普材料，记其中了解人工智能的人数为X，求随机变量
的数学期望和方差.
参考公式：
.常用的小概率值和对应的临界值如下表：
“了解人工智能”，“学生为男生”，据统计.(1)根据已知条件，填写下列
列联表，是否有把握推断该校学生对人工智能的了解情况与性别有关？| 了解人工智能 | 不了解人工智能 | 合计 | |
| 男生 | |||
| 女生 | |||
| 合计 |
②将频率视为概率，从我市所有参与调查的学生中随机抽取20人科普材料，记其中了解人工智能的人数为X，求随机变量
的数学期望和方差.参考公式：
.常用的小概率值和对应的临界值如下表：
| 0.150 | 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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