【推荐1】叙述双曲线的定义,并建立适当的直角坐标系推导其标准方程.

【推荐2】已知向量，，且满足.
(1)求点的轨迹方程所代表的曲线；
(2)若点，，是曲线上的动点，点在直线上，且满足，，当点在上运动时，求点的轨迹方程.

【推荐3】在中，点为动点，两定点的坐标分别为，，且满足，求动点的轨迹方程．

【推荐1】已知双曲线的左、右焦点分别是、，左、右两顶点分别是、，弦AB和CD所在直线分别平行于x轴与y轴，线段BA的延长线与线段CD相交于点P（如图）．
       
(1)若是的一条渐近线的一个法向量，试求的两渐近线的夹角；
(2)若，，，，试求双曲线的方程；
(3)在（1）的条件下，且，点C与双曲线的顶点不重合，直线和直线与直线分别相交于点M和N，试问：以线段MN为直径的圆是否恒经过定点？若是，请求出定点的坐标；若不是，试说明理由．

【推荐2】已知双曲线C：的右焦点为，一条渐近线方程为．
(1)求C的方程；
(2)在x轴上是否存在与F不重合的点P，使得当过点F的直线与C的右支交于A，B两点时，总成立？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐3】平面内与两定点，连线的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹，加上，两点所成的曲线记为曲线C.
(1)求曲线C的方程，并讨论C的形状与m值的关系；
(2)若时，对应的曲线为；对给定的，对应的曲线为.设，是的两个焦点，试问：在上是否存在点N，使得的面积，并证明你的结论.