维尼纶纤维的耐热水性能的好坏可以用指标“缩醛化度”
来衡量，这个指标越高，耐热水性能也越好，而甲醛浓度是影响缩醛化度的重要因素，在生产中常用甲醛浓度
（单位:
）去控制这一指标，为此必须找出它们之间的关系，现安排一批实验，获得如下数据:
(1)画散点图；
(2)求线性回归方程；
(3)求相关系数
来衡量，这个指标越高，耐热水性能也越好，而甲醛浓度是影响缩醛化度的重要因素，在生产中常用甲醛浓度（单位:）去控制这一指标，为此必须找出它们之间的关系，现安排一批实验，获得如下数据:甲醛浓度 /（ | 18 | 20 | 22 | 24 | 26 | 28 | 30 |
缩醛化度 /克分子% | 26.86 | 28.35 | 28.75 | 28.87 | 29.75 | 30.00 | 30.36 |
(2)求线性回归方程；
(3)求相关系数
更新时间：2023-06-30 12:17:50
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【推荐1】车胎凹槽深度是影响汽车刹车的因素，汽车行驶会导致轮胎胎面磨损.某实验室通过试验测得行驶里程与某品牌轮胎凹槽深度的数据，请根据数据建立车胎凹槽深度和汽车行驶里程的关系，并解释模型的含义.
行驶里程/万 | 0.00 | 0.64 | 1.29 | 1.93 | 2.57 | 3.22 | 3.86 | 4.51 | 5.15 |
轮胎凹槽深度/ | 10.02 | 8.37 | 7.39 | 6.48 | 5.82 | 5.20 | 4.55 | 4.16 | 3.82 |
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【推荐2】.以下是粤西地区某县搜集到的新房屋的销售价格
和房屋的面积
的数据：
（1）画出数据散点图；
（2）由散点图判断新房屋销售价格y和房屋面积x是否具有线性相关关系？若有，求线性回归方程．（保留四位小数）
（3）根据房屋面积预报销售价格的回归方程，预报房屋面积为
时的销售价格．
参考公式:
参考数据：
，
，
和房屋的面积的数据：（1）画出数据散点图；
（2）由散点图判断新房屋销售价格y和房屋面积x是否具有线性相关关系？若有，求线性回归方程．（保留四位小数）
（3）根据房屋面积预报销售价格的回归方程，预报房屋面积为
时的销售价格．参考公式:
参考数据：
，，
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；
解答题-应用题
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(0.4)
名校
解题方法
【推荐1】某企业为确定下一年投入某种产品的研发费用，需了解年研发费用（单位：千万元）对年销售量（单位：千万件）的影响，统计了近10年投入的年研发费用
与年销售量
的数据，得到散点图如图所示.
（1）利用散点图判断
和
（其中
均为大于0的常数）哪一个更适合作为年销售量和年研发费用的回归方程类型（只要给出判断即可，不必说明理由）；
（2）对数据作出如下处理，令
，得到相关统计量的值如表：根据第（1）问的判断结果及表中数据，求关于的回归方程；
附：对于一组数据
，其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为
.
（单位：千万元）对年销售量（单位：千万件）的影响，统计了近10年投入的年研发费用与年销售量的数据，得到散点图如图所示. （1）利用散点图判断
和（其中均为大于0的常数）哪一个更适合作为年销售量和年研发费用的回归方程类型（只要给出判断即可，不必说明理由）；（2）对数据作出如下处理，令
，得到相关统计量的值如表：根据第（1）问的判断结果及表中数据，求关于的回归方程； |  |  |  |
| 15 | 15 | 28.25 | 56.5 |
附：对于一组数据
，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为.
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(0.4)
名校
解题方法
【推荐2】某企业为确定下一年度投入某种产品的生产所需的资金，需了解每投入2千万资金后，工人人数(单位:百人 )对年产能(单位：千万元)的影响，对投入的人力和年产能的数据作了初步处理，得到散点图和统计量表.
（1）根据散点图判断:
与
哪一个适宜作为年产能关于投入的人力的回归方程类型？并说明理由？
（2）根据（1）的判断结果及相关的计算数据，建立关于的回归方程；
（3）现该企业共有2000名生产工人，资金非常充足，为了使得年产能达到最大值，则下一年度共需投入多少资金（单位：千万元）？
附注：对于一组数据
，
，…，
，其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为
，(说明:
的导函数为
)
(单位:(单位：千万元)的影响，对投入的人力和年产能的数据作了初步处理，得到散点图和统计量表.
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（1）根据散点图判断:
与哪一个适宜作为年产能关于投入的人力的回归方程类型？并说明理由？（2）根据（1）的判断结果及相关的计算数据，建立
关于的回归方程；（3）现该企业共有2000名生产工人，资金非常充足，为了使得年产能达到最大值，则下一年度共需投入多少资金（单位：千万元）？
附注：对于一组数据
，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，(说明:的导函数为)
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【推荐3】近期，某公交公司分别推出支付宝和微信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用扫码支付.某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次，用表示活动推出的天数，表示每天使用扫码支付的人次（单位：十人次），统计数据如表1所示：
表1：
根据以上数据，绘制了如图1所示的散点图.
参考数据：
其中
，
.
参考公式：
对于一组数据
，其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为
，
.
(1)根据散点图判断，在推广期内，与
（均为大于零的常数）哪一个适宜作为扫码支付的人次关于活动推出天数的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
(2)根据（1）的判断结果及表1中的数据，求关于的回归方程，并预测活动推出第8天使用扫码支付的人次；
表示活动推出的天数，表示每天使用扫码支付的人次（单位：十人次），统计数据如表1所示：表1：
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 6 | 11 | 21 | 34 | 66 | 101 | 196 |
参考数据：
|
|
|
|
|
62.14 | 1.54 | 2535 | 50.12 | 3.47 |
，.参考公式：
对于一组数据
，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.(1)根据散点图判断，在推广期内，
与 （均为大于零的常数）哪一个适宜作为扫码支付的人次关于活动推出天数的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）(2)根据（1）的判断结果及表1中的数据，求
关于的回归方程，并预测活动推出第8天使用扫码支付的人次；
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(0.4)
解题方法
【推荐1】某公司为了解广告投入对销售收益的影响，在若干地区各4投入万元广告费用，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图（如图所示）.由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从0开始计数的.
(1)根据频率分布直方图计算图中各小长方形的宽度；
(2)估计该公司投入4万元广告费用之后，对应销售收益的平均值（以各组的区间中点值代表该组的取值）；
(3)该公司按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到下表：
表中的数据显示，与之间存在线性相关关系，请将（2）的结果填入空白栏，并计算关于的回归方程.
回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
，
.
(1)根据频率分布直方图计算图中各小长方形的宽度；
(2)估计该公司投入4万元广告费用之后，对应销售收益的平均值（以各组的区间中点值代表该组的取值）；
(3)该公司按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到下表：
广告投入 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
销售收益 | 2 | 3 | 2 | 7 |
与之间存在线性相关关系，请将（2）的结果填入空白栏，并计算关于的回归方程.回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
，.
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(0.4)
解题方法
【推荐2】某地的一个黄金楼盘售楼中心统计了2020年1月到5月来本楼盘看楼的人数，得到如下的相关数据.其中“
”表示1月份，“
”表示2月份，依此类推；y表示人数）：
（1）试根据表中的数据，求出y关于x的线性回归方程，并预测几月份来该楼盘看楼的人数能超过30000人；
（2）该楼盘为了吸引购楼者，特别推出“玩掷硬币游戏，送购楼券”活动，购楼者可根据抛掷硬币的结果，操控微型遥控车在方格图上行进，若遥控车最终停在“胜利大本营”，则购楼者可获得购楼券5000元；若遥控车最终停在“失败大本营”，则购楼者可获得购楼券2000元，已知抛掷一枚均匀的硬币，出现正面（印有中国人民银行）朝上与反面朝上的概率是相等的，方格图上标有第0格、第1格、第2格、……、第20格.遥控车开始在第0格，购楼者每抛掷一次硬币，遥控车向前移动一次.若正面朝上，遥控车向前移动一格（从k到
），若反面朝上，遥控车向前移动两格（从k到
），直到遥控车移到第19格（胜利大本营）或第20格（失败大本营）时，游戏结束.设遥控车移到第n（
）格的概率为
，试证明
是等比数列，并求购楼者参与游戏一次获得购楼券5000元的概率.
附：线性回归方程
中的斜率与截距：
，.
”表示1月份，“”表示2月份，依此类推；y表示人数）：| x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| y（百人） | 20 | 50 | 100 | 150 | 180 |
（2）该楼盘为了吸引购楼者，特别推出“玩掷硬币游戏，送购楼券”活动，购楼者可根据抛掷硬币的结果，操控微型遥控车在方格图上行进，若遥控车最终停在“胜利大本营”，则购楼者可获得购楼券5000元；若遥控车最终停在“失败大本营”，则购楼者可获得购楼券2000元，已知抛掷一枚均匀的硬币，出现正面（印有中国人民银行）朝上与反面朝上的概率是相等的，方格图上标有第0格、第1格、第2格、……、第20格.遥控车开始在第0格，购楼者每抛掷一次硬币，遥控车向前移动一次.若正面朝上，遥控车向前移动一格（从k到
），若反面朝上，遥控车向前移动两格（从k到），直到遥控车移到第19格（胜利大本营）或第20格（失败大本营）时，游戏结束.设遥控车移到第n（）格的概率为，试证明是等比数列，并求购楼者参与游戏一次获得购楼券5000元的概率.附：线性回归方程
中的斜率与截距：，.
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(0.4)
名校
【推荐3】红蜘蛛是柚子的主要害虫之一，能对柚子树造成严重伤害，每只红蜘蛛的平均产卵数y（个）和平均温度x（℃）有关，现收集了以往某地的7组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值.
与
（其中
…为自然对数的底数）哪一个更适合作为平均产卵数y（个）关于平均温度x（℃）的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
(2)由（1）的判断结果及表中数据，求出y关于x的回归方程.（计算结果精确到0.1）
附：回归方程中，
，
(3)根据以往每年平均气温以及对果园年产值的统计，得到以下数据：平均气温在22℃以下的年数占60%，对柚子产量影响不大，不需要采取防虫措施；平均气温在22℃至28℃的年数占30%，柚子产量会下降20%；平均气温在28℃以上的年数占10%，柚子产量会下降50%.为了更好的防治红蜘蛛虫害，农科所研发出各种防害措施供果农选择.
在每年价格不变，无虫害的情况下，某果园年产值为200万元，根据以上数据，以得到最高收益（收益＝产值－防害费用）为目标，请为果农从以下几个方案中推荐最佳防害方案，并说明理由.
方案1：选择防害措施A，可以防止各种气温的红蜘蛛虫害不减产，费用是18万；
方案2：选择防害措施B，可以防治22℃至28℃的蜘蛛虫害，但无法防治28℃以上的红蜘蛛虫害，费用是10万；
方案3：不采取防虫害措施.
与（其中…为自然对数的底数）哪一个更适合作为平均产卵数y（个）关于平均温度x（℃）的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）(2)由（1）的判断结果及表中数据，求出y关于x的回归方程.（计算结果精确到0.1）
附：回归方程中
，，参考数据（ | |||||
|
|
|
|
|
|
5215 | 17713 | 714 | 27 | 81.3 | 3.6 |
）
在每年价格不变，无虫害的情况下，某果园年产值为200万元，根据以上数据，以得到最高收益（收益＝产值－防害费用）为目标，请为果农从以下几个方案中推荐最佳防害方案，并说明理由.
方案1：选择防害措施A，可以防止各种气温的红蜘蛛虫害不减产，费用是18万；
方案2：选择防害措施B，可以防治22℃至28℃的蜘蛛虫害，但无法防治28℃以上的红蜘蛛虫害，费用是10万；
方案3：不采取防虫害措施.
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(0.4)
名校
【推荐1】为利于分层教学，某学校根据学生的情况分成了A，B,C三类，经过一段时间的学习后在三类学生中分别随机抽取了1个学生的5次考试成缎，其统计表如下：
A类
，
；
B类
，
；
C类
，
；
（1）经计算已知A，B的相关系数分别为
，
．，请计算出C学生的
的相关系数，并通过数据的分析回答抽到的哪类学生学习成绩最稳定；（结果保留两位有效数字，
越大认为成绩越稳定）
（2）利用（1）中成绩最稳定的学生的样本数据，已知线性回归直线方程为
，利用线性回归直线方程预测该生第十次的成绩．
附相关系数
，线性回归直线方程
，
，
．
A类
| 第x次 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 分数y（满足150） | 145 | 83 | 95 | 72 | 110 |
，；B类
| 第x次 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 分数y（满足150） | 85 | 93 | 90 | 76 | 101 |
，；C类
| 第x次 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 分数y（满足150） | 85 | 92 | 101 | 100 | 112 |
，；（1）经计算已知A，B的相关系数分别为
，．，请计算出C学生的的相关系数，并通过数据的分析回答抽到的哪类学生学习成绩最稳定；（结果保留两位有效数字，越大认为成绩越稳定）（2）利用（1）中成绩最稳定的学生的样本数据，已知线性回归直线方程为
，利用线性回归直线方程预测该生第十次的成绩．附相关系数
，线性回归直线方程，，．
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较难
(0.4)
解题方法
【推荐2】近年来，我国电子商务快速发展，快递行业的市场规模逐渐扩大．国家邮政局数据显示，2013~2019年，中国快递量持续增长，2019年，我国快递量达到635.2亿件，比前一年增长25.3%，人均使用快递45件左右．某快递公司为预测本公司下一年的快递量，以便提前增加设备和招聘工人，该快递公司对近5年本公司快递量的数据进行对比分析，并对这些数据做了初步处理，得到了下表数据及一些统计量的值，其中
．
（1）设
和
的相关系数为
和
的相关系数为
，请从相关系数的角度，确定
或
（其中
均为常数，e为自然对数的底数）哪一个拟合程度更好；
（2）根据（1）的结论及表中数据，建立y关于x的回归方程（系数精确到0.01），并预测2020年度的快递量（单位：百万件，精确到0.01）．
附：①相关系数
，回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
．
②参考数据：
．
．编号x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
年份 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 | 2019 |
快递量y（单位：百万件） | 1 | 3 | 6 | 9 | 15 |
 |  |  |  |  |
| 374 | 4.4 | 212 | 6.5 | 121 |
（1）设
和的相关系数为和的相关系数为，请从相关系数的角度，确定或（其中均为常数，e为自然对数的底数）哪一个拟合程度更好；（2）根据（1）的结论及表中数据，建立y关于x的回归方程（系数精确到0.01），并预测2020年度的快递量（单位：百万件，精确到0.01）．
附：①相关系数
，回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为．②参考数据：
．
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解答题-证明题
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较难
(0.4)
名校
【推荐3】某校20名学生的数学成绩
和知识竞赛成绩
如下表：
计算可得数学成绩的平均值是
，知识竞赛成绩的平均值是
，并且
，
，
.
(1)求这组学生的数学成绩和知识竞赛成绩的样本相关系数（精确到0.01）；
(2)设
，变量和变量的一组样本数据为
，其中
两两不相同，
两两不相同.记在
中的排名是第
位，
在
中的排名是第
位，
.定义变量和变量的“斯皮尔曼相关系数”（记为
）为变量的排名和变量的排名的样本相关系数.
（i）记
，.证明：
；
（ii）用（i）的公式求得这组学生的数学成绩和知识竞赛成绩的“斯皮尔曼相关系数”约为0.91，简述“斯皮尔曼相关系数”在分析线性相关性时的优势.
注：参考公式与参考数据.
；
；
.
和知识竞赛成绩如下表：| 学生编号i | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 数学成绩 | 100 | 99 | 96 | 93 | 90 | 88 | 85 | 83 | 80 | 77 |
| 知识竞赛成绩 | 290 | 160 | 220 | 200 | 65 | 70 | 90 | 100 | 60 | 270 |
| 学生编号i | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
| 数学成绩 | 75 | 74 | 72 | 70 | 68 | 66 | 60 | 50 | 39 | 35 |
| 知识竞赛成绩 | 45 | 35 | 40 | 50 | 25 | 30 | 20 | 15 | 10 | 5 |
，知识竞赛成绩的平均值是，并且，，.(1)求这组学生的数学成绩和知识竞赛成绩的样本相关系数（精确到0.01）；
(2)设
，变量和变量的一组样本数据为，其中两两不相同，两两不相同.记在中的排名是第位，在中的排名是第位，.定义变量和变量的“斯皮尔曼相关系数”（记为）为变量的排名和变量的排名的样本相关系数.（i）记
，.证明：；（ii）用（i）的公式求得这组学生的数学成绩和知识竞赛成绩的“斯皮尔曼相关系数”约为0.91，简述“斯皮尔曼相关系数”在分析线性相关性时的优势.
注：参考公式与参考数据.
；；.
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