解题方法
1 . 信息熵是信息论之父香农（Shannon）定义的一个重要概念，香农在1948年发表的论文《通信的数学理论》中指出，任何信息都存在冗余，把信息中排除了冗余后的平均信息量称为“信息熵”，并给出了计算信息熵的数学表达式：设随机变量
所有可能的取值为
，且
，
，定义的信息熵
.
(1)当
时，计算
；
(2)当
时，试探索的信息熵关于
的解析式，并求其最大值；
(3)若
，随机变量
所有可能的取值为
，且
，证明:
.
所有可能的取值为，且，，定义的信息熵.(1)当
时，计算；(2)当
时，试探索的信息熵关于的解析式，并求其最大值；(3)若
，随机变量所有可能的取值为，且，证明:.
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解题方法
2 . 若函数
有3个不同的零点，则实数a的取值范围是（ ）
有3个不同的零点，则实数a的取值范围是（ ）A． | B． | C． | D． |
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3 . 已知函数
．
(1)若
，求
在区间
上的值域；
(2)若
有且仅有1个零点，求实数m的取值范围．
．(1)若
，求在区间上的值域；(2)若
有且仅有1个零点，求实数m的取值范围．
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解题方法
4 . 已知关于
的不等式
在
上恒成立（其中
为自然对数的底数），则实数
的取值范围为______ .
的不等式在上恒成立（其中为自然对数的底数），则实数的取值范围为
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名校
解题方法
5 . 已知点
为曲线
上的动点，
为圆
上的动点，则线段
长度的最小值是（ ）
为曲线上的动点，为圆上的动点，则线段长度的最小值是（ ）| A．3 | B．4 | C． | D． |
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6 . 已知
，若存在实数
，当
时，满足
，则
的取值范围为__________ .
，若存在实数，当时，满足，则的取值范围为
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解题方法
7 . 已知函数
．
(1)求
的最大值；
(2)证明：当
时，
．
．(1)求
的最大值；(2)证明：当
时，．
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8 . 已知函数
(1)求函数在点
处的切线方程；
(2)求
的最小值.
(1)求函数在点
处的切线方程；(2)求
的最小值.
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解题方法
9 . 在半径为5的球体内部放置一个圆锥，则该圆锥体积的最大值为（ ）
A． | B． | C． | D． |
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名校
10 . 甲、乙两人进行知识问答比赛，共有
道抢答题，甲、乙抢题的成功率相同.假设每题甲乙答题正确的概率分别为
和
，各题答题相互独立.规则为：初始双方均为0分，答对一题得1分，答错一题得﹣1分，未抢到题得0分，最后累计总分多的人获胜.
(1)若
，
，求甲获胜的概率；
(2)若
，设甲第
题的得分为随机变量
，一次比赛中得到的一组观测值
，如下表.现利用统计方法来估计的值：
①设随机变量
，若以观测值的均值
作为
的数学期望，请以此求出的估计值
；
②设随机变量取到观测值的概率为
，即
；在一次抽样中获得这一组特殊观测值的概率应该最大，随着的变化，用使得达到最大时的取值
作为参数的一个估计值.求.
表1：甲得分的一组观测值.
附：若随机变量，的期望
，
都存在，则
.
道抢答题，甲、乙抢题的成功率相同.假设每题甲乙答题正确的概率分别为和，各题答题相互独立.规则为：初始双方均为0分，答对一题得1分，答错一题得﹣1分，未抢到题得0分，最后累计总分多的人获胜.(1)若
，，求甲获胜的概率；(2)若
，设甲第题的得分为随机变量，一次比赛中得到的一组观测值，如下表.现利用统计方法来估计的值：①设随机变量
，若以观测值的均值作为的数学期望，请以此求出的估计值；②设随机变量
取到观测值的概率为，即；在一次抽样中获得这一组特殊观测值的概率应该最大，随着的变化，用使得达到最大时的取值作为参数的一个估计值.求.| 题目 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 得分 | 1 | 0 | 0 | ﹣1 | 1 | 1 | ﹣1 | 0 | 0 | 0 |
| 题目 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
| 得分 | ﹣1 | 0 | 1 | 1 | ﹣1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
附：若随机变量
，的期望，都存在，则.
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716次组卷
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2卷引用：浙江省天域全国名校协作体2023-2024学年高三二模数学试题
