甲、乙分别拥有3张写有数字的卡片，甲的3张卡片上的数字分别为X，Y，Z，乙的3张卡片上的数字分别为x，y，z，已知
．他们按如下规则做一个“出示卡片，比数字大小”的游戏：甲、乙各出示1张卡片，比较卡片上的数字的大小，然后丢弃已使用过的卡片．他们共进行了三次，直至各自用完3张卡片，且在出示卡片时双方都不知道对方所出示的卡片上的数字．三次“出示卡片，比数字大小”之后，认定至少有两次数字较大的一方获得胜利．
(1)若第一次甲出示的卡片上写有数字X，乙出示的卡片上写有数字z，求乙最终获得胜利的概率；
(2)记事件
“第一次乙出示的卡片上的数字大”，事件
“乙获得胜利”，试比较A和B哪个概率大，并说明理由．
．他们按如下规则做一个“出示卡片，比数字大小”的游戏：甲、乙各出示1张卡片，比较卡片上的数字的大小，然后丢弃已使用过的卡片．他们共进行了三次，直至各自用完3张卡片，且在出示卡片时双方都不知道对方所出示的卡片上的数字．三次“出示卡片，比数字大小”之后，认定至少有两次数字较大的一方获得胜利．(1)若第一次甲出示的卡片上写有数字X，乙出示的卡片上写有数字z，求乙最终获得胜利的概率；
(2)记事件
“第一次乙出示的卡片上的数字大”，事件“乙获得胜利”，试比较A和B哪个概率大，并说明理由．
更新时间：2023-08-13 00:06:48
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【推荐1】班会课上，甲、乙两位同学参加了“心有灵犀”活动：从5个成语中随机抽取3个，甲同学负责比划，乙同学负责猜成语．甲会比划其中3个，甲会比划的成语，乙猜对的概率为
，甲不会比划的成语，乙无法猜对．
(1)求甲乙配合猜对2个成语的概率；
(2)设甲乙配合猜对成语个数为X，求X的分布列和数学期望．
，甲不会比划的成语，乙无法猜对．(1)求甲乙配合猜对2个成语的概率；
(2)设甲乙配合猜对成语个数为X，求X的分布列和数学期望．
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【推荐2】第56届世界乒乓球团体锦标赛于2022年在中国成都举办，国球运动又一次掀起热潮．现有甲乙两人进行乒乓球比赛，比赛采用7局4胜制，每局11分制，每赢一球得1分，选手只要得到至少11分，并且领先对方至少2分（包括2分），即赢得该局比赛．在一局比赛中，每人只发2个球就要交换发球权，如果双方比分为10：10后，每人发一个球就要交换发球权．
(1)已知在本场比赛中，前三局甲赢两局，乙赢一局，在后续比赛中，每局比赛甲获胜的概率为
，乙获胜的概率为
，且每局比赛的结果相互独立，求甲乙两人只需要再进行两局比赛就能结束本场比赛的概率；
(2)已知某局比赛中双方比分为8：8，且接下来两球由甲发球，若甲发球时甲得分的概率为
，乙发球时乙得分的概率为，各球的结果相互独立，求该局比赛甲得11分获胜的概率．
(1)已知在本场比赛中，前三局甲赢两局，乙赢一局，在后续比赛中，每局比赛甲获胜的概率为
，乙获胜的概率为，且每局比赛的结果相互独立，求甲乙两人只需要再进行两局比赛就能结束本场比赛的概率；(2)已知某局比赛中双方比分为8：8，且接下来两球由甲发球，若甲发球时甲得分的概率为
，乙发球时乙得分的概率为，各球的结果相互独立，求该局比赛甲得11分获胜的概率．
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【推荐3】2023年12月30号，长征二号丙/远征一号S运载火箭在酒泉卫星发射中心点火起飞，随后成功将卫星互联网技术实验卫星送入预定轨道，发射任务获得圆满完成，此次任务是长征系列运载火箭的第505次飞行，也代表着中国航天2023年完美收官．某市一调研机构为了了解当地学生对我国航天事业发展的关注度，随机的从本市大学生和高中生中抽取一个容量为n的样本进行调查，调查结果如下表：
附：
，其中
．
(1)完成上述列联表，依据小概率值
的独立性检验，认为关注航天事业发展与学生群体有关，求样本容量n的最小值；
(2)该市为了提高本市学生对航天事业的关注，举办了一次航天知识闯关比赛，包含三个问题，有两种答题方案选择：
方案一：回答三个问题，至少答出两个可以晋级；
方案二：在三个问题中，随机选择两个问题，都答对可以晋级．
已知小华同学答出三个问题的概率分别是
，，，小华回答三个问题正确与否相互独立，则小华应该选择哪种方案晋级的可能性更大？（说明理由）
学生群体 | 关注度 | 合计 | |
关注 | 不关注 | ||
大学生 |
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高中生 | |||
合计 |
| ||
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，其中．(1)完成上述列联表，依据小概率值
的独立性检验，认为关注航天事业发展与学生群体有关，求样本容量n的最小值；(2)该市为了提高本市学生对航天事业的关注，举办了一次航天知识闯关比赛，包含三个问题，有两种答题方案选择：
方案一：回答三个问题，至少答出两个可以晋级；
方案二：在三个问题中，随机选择两个问题，都答对可以晋级．
已知小华同学答出三个问题的概率分别是
，，，小华回答三个问题正确与否相互独立，则小华应该选择哪种方案晋级的可能性更大？（说明理由）
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【推荐1】已知一个袋子中有4个红球（标号为1，2，3，4）、2个黑球（标号为5，6），这些球的大小和质地都相同（即每个球被摸到的可能性相同）．现在不放回的摸出两个球，用
表示第一次摸到
号球，第二次摸到
号球，样本空间
．记事件
：恰有一次摸到红球；事件
：至少有一次摸到红球；事件
：第一次摸到球的标号小于第二次摸到球的标号．
(1)写出事件相应的样本空间的子集（用列举法），并求出事件的概率
；
(2)判断事件与事件的是否为相互独立？并说明理由．
表示第一次摸到号球，第二次摸到号球，样本空间．记事件：恰有一次摸到红球；事件：至少有一次摸到红球；事件：第一次摸到球的标号小于第二次摸到球的标号．(1)写出事件
相应的样本空间的子集（用列举法），并求出事件的概率；(2)判断事件
与事件的是否为相互独立？并说明理由．
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【推荐2】某新能源汽车制造公司，为鼓励消费者购买其生产的新能源汽车，约定从今年元月开始，凡购买一辆该品牌汽车，在行驶三年后，公司将给予适当金额的购车补贴.某调研机构对已购买该品牌汽车的消费者，就购车补贴金额的心理预期值进行了抽样调查，得其样本频率分布直方图如图所示.
(2)估计已购买该品牌汽车的消费群体对购车补贴金额的心理预期值的平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）；
(3)现在要从购车补贴金额的心理预期值在[3，5）间用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行调查，求抽到2人中购车补贴金额的心理预期值都在[3，4）间的概率.
(2)估计已购买该品牌汽车的消费群体对购车补贴金额的心理预期值的平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）；
(3)现在要从购车补贴金额的心理预期值在[3，5）间用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行调查，求抽到2人中购车补贴金额的心理预期值都在[3，4）间的概率.
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【推荐3】中国女排曾经十度成为世界冠军，铸就了响彻中华的女排精神，看过中国女排的纪录片后，某大学掀起“学习女排精神，塑造健康体魄”的年度主题活动，一段时间后，学生的身体素质明显提高，将该大学近5个月体重超重的人数进行统计，得到如下表格：
(1)若该大学体重超重人数y与月份变量x（月份变量x依次为1，2，3，4，5…）具有线性相关关系，请预测从第几月份开始该大学体重超重的人数隆至100人以下？
(2)从这5个月中随机抽取2个月，求抽取的这两个月中体重超重的人数都少于500人的概率．
附1：回归方程
中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
，
，
附2：参考数据：
，
| 月份x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 体重超重的人数y | 640 | 540 | 420 | 300 | 200 |
(2)从这5个月中随机抽取2个月，求抽取的这两个月中体重超重的人数都少于500人的概率．
附1：回归方程
中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，，附2：参考数据：
，
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【推荐1】环保部门要对所有的新车模型进行广泛测试，以确定它的行车里程的等级，右表是对 100 辆新车模型在一个耗油单位内行车里程（单位：公里）的测试结果.
（Ⅰ）做出上述测试结果的频率分布直方图，并指出其中位数落在哪一组；
（Ⅱ）用分层抽样的方法从行车里程在区间[38,40)与[40,42)的新车模型中任取5辆，并从这5辆中随机抽取2辆，求其中恰有一个新车模型行车里程在[40,42)内的概率.
| 分组 | 频数 |
| [30,32) | 6 |
| [32,34) | 10 |
| [34,36) | 20 |
| [36,38) | 30 |
| [38,40) | 18 |
| [40,42) | 12 |
| [42,44) | 4 |
（Ⅰ）做出上述测试结果的频率分布直方图，并指出其中位数落在哪一组；
（Ⅱ）用分层抽样的方法从行车里程在区间[38,40)与[40,42)的新车模型中任取5辆，并从这5辆中随机抽取2辆，求其中恰有一个新车模型行车里程在[40,42)内的概率.
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【推荐2】某慈善机构举办一次募捐演出,有一万人参加,每人一张门票,每张100元. 在演出过程中穿插抽奖活动．第一轮抽奖从这一万张票根中随机抽取10张,其持有者获得价值1000元的奖品,并参加第二轮抽奖活动．第二轮抽奖由第一轮获奖者独立操作按钮,电脑随机产生两个数
,
(,
),随即按如右所示程序框图运行相应程序．若电脑显示”中奖”,则抽奖者获得9000元奖金;若电脑显示”谢谢”,则不中奖．
(Ⅰ)已知小曹在第一轮抽奖中被抽中, 求小曹在第二轮抽奖中获奖的概率;
(Ⅱ)若小叶参加了此次活动,求小叶参加此次活动收益的期望;
(Ⅲ)若此次募捐除奖品和奖金外,不计其它支出,该机构想获得96万元的慈善款．问该慈善机构此次募捐是否能达到预期目标．
,(,),随即按如右所示程序框图运行相应程序．若电脑显示”中奖”,则抽奖者获得9000元奖金;若电脑显示”谢谢”,则不中奖．(Ⅰ)已知小曹在第一轮抽奖中被抽中, 求小曹在第二轮抽奖中获奖的概率;
(Ⅱ)若小叶参加了此次活动,求小叶参加此次活动收益的期望;
(Ⅲ)若此次募捐除奖品和奖金外,不计其它支出,该机构想获得96万元的慈善款．问该慈善机构此次募捐是否能达到预期目标．
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，第二次抛郑的点数记为
．
的概率；
的概率．
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【推荐1】疫情期间葫芦岛市某高中食堂，为支持学校隔离用餐的安排，保证同学们的用餐安全，为同学们提供了A餐､B餐两种餐盒.经过前期调研，食堂每天备餐时A，B两种餐盒的配餐比例为
.为保证配餐的分量足，后勤每天随机抽取5个餐盒进行重量检测.假定食堂备餐总数很大，抽样不影响备餐总量中A，B餐盒的比例，且每个餐盒的包装没有区分，被抽查的可能性相同.
(1)求抽取的5个餐盒中恰有三个B餐盒的概率；
(2)某天配餐后，食堂管理人员怀疑B餐配菜有误，需要从所有的餐盒中挑出一个B餐盒查看.如果抽出一个是A餐食，则放回备餐区，维续抽取下一个；如果抽到的是B餐食，则抽样结束.规定抽取次数不超过4次.若抽样结束时抽到的A餐盒数用随机变量X表示，求X的分布列与数学期望.
.为保证配餐的分量足，后勤每天随机抽取5个餐盒进行重量检测.假定食堂备餐总数很大，抽样不影响备餐总量中A，B餐盒的比例，且每个餐盒的包装没有区分，被抽查的可能性相同.(1)求抽取的5个餐盒中恰有三个B餐盒的概率；
(2)某天配餐后，食堂管理人员怀疑B餐配菜有误，需要从所有的餐盒中挑出一个B餐盒查看.如果抽出一个是A餐食，则放回备餐区，维续抽取下一个；如果抽到的是B餐食，则抽样结束.规定抽取次数不超过4次.若抽样结束时抽到的A餐盒数用随机变量X表示，求X的分布列与数学期望.
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【推荐2】袋中装有大小相同的2个白球和3个黑球．
(1)采取放回抽样方式，从中依次摸出两个球，求两球颜色不同的概率；
(2)采取不放回抽样方式，从中依次摸出两个球，记
为摸出两球中白球的个数，求的期望和方差．
(1)采取放回抽样方式，从中依次摸出两个球，求两球颜色不同的概率；
(2)采取不放回抽样方式，从中依次摸出两个球，记
为摸出两球中白球的个数，求的期望和方差．
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