【推荐1】如图，已知点的坐标为，直线与轴､轴分别交于点和点，连接，顶点为的抛物线过三点.

(1)请直接写出两点的坐标，抛物线的解析式及顶点的坐标；
(2)设抛物线的对称轴交线段于点是第一象限内抛物线上一点，过点作轴的垂线，交线段于点，若四边形为平行四边形，求点的坐标；
(3)是第一象限内抛物线上一点，连接，构成，当的面积达到最大值时，求出点的坐标及面积的最大值.
(4)在第（3）题的条件下，点是过点垂直于轴的直线上一动点，点是抛物线对称轴上一动点，求的最小值.

【推荐2】抛物线与直线交于、两点，且．

(1)求和的值（用含的代数式表示）；
(2)当时，抛物线与轴的另一个交点为．
①求的面积；
②当时，则的取值范围是_________．
(3)抛物线的顶点，求出与的函数关系式；当为何值时，点达到最高．
(4)在抛物线和直线所围成的封闭图形的边界上把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，当时，直接写出“美点”的个数_________；若这些美点平均分布在直线的两侧，的取值范围：_________．

【推荐3】如图1，抛物线与x轴交于，两点.
   
(1)求该抛物线的解析式；
(2)设（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)如图2，在（1）中抛物线的第二象限部分是否存在一点P，使的面积最大？若存在，求出点P的坐标及的面积最大值；若不存在，请说明理由.

【推荐1】如图（1），在和中，∠∠，，，点E在内部，之间存在怎样的数量关系？问题探究：
         
(1)先将问题特殊化如图（2），当点D，F重合时，直接写出一个等式，表示AF，BF，CF之间的数量关系；
(2)再探究一般情形如图（1），当点D，F不重合时（1）中的结论仍然成立．
(3)如图（3），在和中，∠∠，，（k是常数），点E在内部，直接写出一个等式，表示线段AF，BF，CF之间的数量关系．

【推荐2】如图，边长为8的正方形的两边在坐标轴上，以点为顶点的抛物线经过点，点是抛物线上点A，间的一个动点（含端点），过点作于点，点，的坐标分别为，，连接，，.

(1)小明探究点的位置发现：当点与点A或点重合时，与的差为定值，进而猜想：对于任意一点，与的差为定值，请你判断该猜想是否正确，并说明理由；
(2)小明进一步探究得出结论：若将“使的面积为整数”的点记作“特别点”，则存在多个“特别点”，且使的周长最小的点也是一个“特别点”.请直接写出所有“特别点”的个数，并直接写出周长最小时“特别点”的坐标.

【推荐3】某数学课外活动小组在学习了勾股定理之后，针对图1中所示的“由直角三角形三边向外侧作多边形，它们的面积S₁，S₂，S₃之间的关系问题”进行了以下探究：
(1)（类比探究）如图2，在Rt△ABC中，BC为斜边，分别以AB，AC，BC为斜边向外侧作Rt△ABD，Rt△ACE，Rt△BCF，若∠1＝∠2＝∠3，则面积S₁，S₂，S₃之间的关系式为　　　；
(2)（推广验证）如图3，在Rt△ABC中，BC为斜边，分别以AB，AC，BC为边向外侧作任意△ABD，△ACE，△BCF，满足∠1＝∠2＝∠3，∠D＝∠E＝∠F，则（1）中所得关系式是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由；
(3)（拓展应用）如图4，在五边形ABCDE中，∠A＝∠E＝∠C＝105°，∠ABC＝90°，AB＝2，DE＝2，点P在AE上，∠ABP＝30°，PE＝，求五边形ABCDE的面积．

【推荐1】我们定义：如果三角形上两点，其中一点为一边的中点，如果这两点的连线将三角形分成周长相等的两部分，我们称这条线段为该三角形的“等分周线”．如图1，在中，D是的中点，点E在上，若，则为的一条“等分周线”．

(1)任意三角形的“等分周线”有________条，若某三角形的“等分周线”的一个端点是三角形的顶点，则这个三角形是________．
(2)如图1，在中，D是的中点，点E在上，为的一条“等分周线”．若，设，，求的长（用含m，n的代数式表示）．
(3)如图2，在四边形中，，平分，，点E在上，连接，，，，，求的长．

【推荐2】在平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“闭距离”，记作．
已知点，，.
(1)求（点O，）；
(2)记函数（，）的图象为，若，求的取值范围；
(3)的圆心，半径为1．若（，），请直接写出的值.

【推荐3】如图所示，在 中，点 在 边上，点 在线段 上．

(1)若．
①如图1，若 ，，过 作 于点 ，直接写出 的值为                             ；
②如图2，若 ，求 的值．
(2)如图3，已知 为 的角平分线，，，直接写出线段 的长度．