【推荐2】如图1，已知抛物线交y轴于点，交x轴于B，C两点，其中，点P是抛物线上一动点（不与点B，C重合），过点P作x轴的垂线l，再过点A作l的垂线，垂足为Q，连接AP．

（1）求抛物线的函数表达式和点C的坐标；
（2）若，求点P的坐标；
（3）如图2，当点位于抛物线的对称轴的右侧时，若绕点A顺时针旋转，且，点的对应点为点，点Q的对应点为点，当点落在坐标轴上时，求点P的横坐标．

【推荐3】如图所示，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点.

(1)求、、三点的坐标.
(2)过作交抛物线于点，求四边形的面积.
(3)在轴上方的抛物线上是否存在一点，过作轴点，使以、、三点为顶点的三角形与相似.若存在，请求出点的坐标；否则，请说明理由.

【推荐1】阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：莱昂哈德欧拉是瑞士数学家，在数学上经常见到以他的名字命名的重要常数，公式和定理，下面就是欧拉发现的一个定理：在中，和分别为外接圆和内切圆的半径，和分别为其中外心和内心，则.

如图1，和分别是的外接圆和内切圆，与相切分于点，设的半径为，的半径为，外心（三角形三边垂直平分线的交点）与内心（三角形三条角平分线的交点）之间的距离，则有.
下面是该定理的证明过程（部分）
延长交于点，过点作的直径，连接，.
，（同弧所对的圆周角相等）.
.
，
，①
如图2，在图1（隐去，的基础上作的直径，
如图2，动手连接，，，.
是的直径，所以.
与相切于点，所以，
.
（同弧所对的圆周角相等），
，
.
②
(1)观察发现：___________，___________（用含，的代数式表示）；
(2)请观察式子①和式子②，并利用任务（1）的结论，按照上面的证明思路，完成该定理证明的剩余部分.

【推荐3】如图，矩形中，连接，，，E为一动点，沿方向运动，速度为1单位长度每秒，运动时间为秒，过E作于F（F可与B，C重合），以为边在矩形内部作正方形，若直线将矩形的面积分成的两部分，求的值．

【推荐2】如图所示，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点.

(1)求、、三点的坐标.
(2)过作交抛物线于点，求四边形的面积.
(3)在轴上方的抛物线上是否存在一点，过作轴点，使以、、三点为顶点的三角形与相似.若存在，请求出点的坐标；否则，请说明理由.

【推荐3】有一张矩形纸片，按下面步骤进行折叠：
第一步：如图①，将矩形纸片折叠，使点，重合，点落在点处，得折痕；
第二步：如图②，将五边形折叠，使，重合，得折痕.再打开；
第三步：如图③，进一步折叠，使，均落在上，点，落在点处，点，落在点处，得折痕，.
这样，就可以折出一个五边形.

(1)适当添加辅助线，请写出图①中三组全等三角形______，______，______；（写出不同的三组即可）
(2)若这样折出的五边形（如图③）恰好是一个正五边形，当，，
①请写出一个与的关系式，并加以证明；
②设正五边形的边长，请求出边长（用或表示）.