2015-2019年,中国社会消费品零售额占的比重超过4成,2020年后,中国社会消费品零售额占的比重逐年下降.下表为2018-2022年中国社会消费品零售额(单位:万亿元)及其占的比重(单位:%)的数据,其中2018-2022年对应的年份代码依次为1~5.
附:,,,,
相关系数.对于一组数据,,…,,其一元线性回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为,.
(1)由上表数据,是否可用一元线性回归模型拟合与的关系,请用相关系数加以说明.
(2)请建立关于的一元线性回归方程.
年份代码 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
社会消费品零售额 | 37.8 | 40.8 | 39.2 | 44.1 | 44.0 |
社会消费品零售额占的比重 | 41.3 | 41.5 | 39.0 | 38.6 | 36.7 |
相关系数.对于一组数据,,…,,其一元线性回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为,.
(1)由上表数据,是否可用一元线性回归模型拟合与的关系,请用相关系数加以说明.
(2)请建立关于的一元线性回归方程.
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更新时间:2023-11-22 13:17:12
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【推荐1】已知具有相关关系的两个变量之间的几组数据如下表所示:
(1)请根据上表数据在网格纸中绘制散点图;
(2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出关于的线性回归方程,并估计当时,的值;
(3)将表格中的数据看作五个点的坐标,则从这五个点中随机抽取2个点,求这两个点都在直线的右下方的概率.
参考公式:,.
(1)请根据上表数据在网格纸中绘制散点图;
(2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出关于的线性回归方程,并估计当时,的值;
(3)将表格中的数据看作五个点的坐标,则从这五个点中随机抽取2个点,求这两个点都在直线的右下方的概率.
参考公式:,.
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【推荐2】(本小题满分12分)
《赢在博物馆》是中央电视台于2018 春节期间推出的全国首档大型益智类博物馆文物知识节目,中央电视台为了解该节目的收视情况,抽查北方与南方各5个城市,得到观看该节目的人数(单位:千人)如茎叶图所示,但其中一个数字被污损.
(1)若将被污损的数字视为0-9中10 个数字的随机一个,求北方观众平均人数超过南方观众平均人数的概率.
(2)该节目的播出极大激发了观众学习中国历史知识的热情,现在随机统计了4位观众每周学习中国历史知识的平均时间 (单位:小时)与年龄 (单位:岁),并制作了对照表(如下表所示):
由表中数据分析, 呈线性相关关系,试求线性同归方程,并预测年龄为60岁观众每周学习中国历史知识的平均时间.
参考公式: .
《赢在博物馆》是中央电视台于2018 春节期间推出的全国首档大型益智类博物馆文物知识节目,中央电视台为了解该节目的收视情况,抽查北方与南方各5个城市,得到观看该节目的人数(单位:千人)如茎叶图所示,但其中一个数字被污损.
(1)若将被污损的数字视为0-9中10 个数字的随机一个,求北方观众平均人数超过南方观众平均人数的概率.
(2)该节目的播出极大激发了观众学习中国历史知识的热情,现在随机统计了4位观众每周学习中国历史知识的平均时间 (单位:小时)与年龄 (单位:岁),并制作了对照表(如下表所示):
年龄 | 20 | 30 | 40 | 50 |
每周学习中国历史知识平均时间 | 2.5 | 3 | 4 | 4.5 |
参考公式: .
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解答题-作图题
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适中
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【推荐3】越接近高考学生焦虑程度越强,四个高三学生中大约有一个有焦虑症,经有关机构调查,得出距离高考周数与焦虑程度对应的正常值变化情况如下表周数:
回归方程中,.
参考数据:,.
(1)作出散点图;
(2)根据上表数据用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程(精确到0.01)
(3)根据经验观测值为正常值的0.85~1.06为正常,若1.06~1.12为轻度焦虑,1.12~1.20为中度焦虑,1.20及以上为重度焦虑.若为中度焦虑及以上,则要进行心理疏导.若一个学生在距高考第二周时观测值为103,则该学生是否需要进行心理疏导?
周数x | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 |
正常值y | 55 | 63 | 72 | 80 | 90 | 99 |
参考数据:,.
(1)作出散点图;
(2)根据上表数据用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程(精确到0.01)
(3)根据经验观测值为正常值的0.85~1.06为正常,若1.06~1.12为轻度焦虑,1.12~1.20为中度焦虑,1.20及以上为重度焦虑.若为中度焦虑及以上,则要进行心理疏导.若一个学生在距高考第二周时观测值为103,则该学生是否需要进行心理疏导?
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【推荐1】某研究机构对高三学生的记忆力和判断力进行统计分析,得下表数据:
(1)请根据上表提供的数据,用相关系数说明与的线性相关程度;(结果保留小数点后两位,参考数据: )
(2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出关于的线性回归方程;
(3)试根据求出的线性回归方程,预测记忆力为9的同学的判断力.
参考公式:,;相关系数;
x | 6 | 8 | 10 | 12 |
y | 2 | 3 | 5 | 6 |
(2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出关于的线性回归方程;
(3)试根据求出的线性回归方程,预测记忆力为9的同学的判断力.
参考公式:,;相关系数;
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(0.65)
解题方法
【推荐2】为分析肥胖程度对总胆固醇与空腹血糖的影响,在肥胖人群中随机抽取人,他们的体质指数值、总胆固醇指标值(单位:)、空腹血糖指标值(单位:)如下表所示:
(1)用变量与,与的相关系数,分别说明指标值与值、指标值与值的相关程度;
(2)求关于的线性回归方程,已知指标值超过为总胆固醇偏高,据此模型分析当值超过多少时,需要注意监控总胆固醇偏高的情况出现.(上述数据均要精确到)
参考数据:,,,,,,,,,,.
人员编号 | ||||||||
值 | ||||||||
指标值 | ||||||||
指标值 |
(2)求关于的线性回归方程,已知指标值超过为总胆固醇偏高,据此模型分析当值超过多少时,需要注意监控总胆固醇偏高的情况出现.(上述数据均要精确到)
参考数据:,,,,,,,,,,.
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适中
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解题方法
【推荐3】为促进全民健身更高水平发展,更好地满足人民群众的健身和健康需求,国家相关部门制定发布了《全民健身计划(2021—2025年)》.相关机构统计了我国2018年至2022年(2018年的年份序号为1,依此类推)健身人群数量(即有健身习惯的人数,单位:百万),所得数据如图所示:
(1)若每年健身人群中放弃健身习惯的人数忽略不计,从2022年的健身人群中随机抽取5人,设其中从2018年开始就有健身习惯的人数为X,求;
(2)由图可知,我国健身人群数量与年份序号线性相关,请用相关系数加以说明.
附:相关系数.参考数据:,,,,.
(1)若每年健身人群中放弃健身习惯的人数忽略不计,从2022年的健身人群中随机抽取5人,设其中从2018年开始就有健身习惯的人数为X,求;
(2)由图可知,我国健身人群数量与年份序号线性相关,请用相关系数加以说明.
附:相关系数.参考数据:,,,,.
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解答题-问答题
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适中
(0.65)
名校
解题方法
【推荐1】随机选取变量和变量的对观测数据,选取的第对观测数据记为,其数值对应如下表所示:
计算得:,,,,.
(1)求变量和变量的样本相关系数(小数点后保留位),判断这两个变量是正相关还是负相关,并推断它们的线性相关程度;
(2)假设变量关于的一元线性回归模型为.
(ⅰ)求关于的经验回归方程,并预测当时的值;
(ⅱ)设为时该回归模型的残差,求、、、、的方差.
参考公式:,,.
编号 | |||||
(1)求变量和变量的样本相关系数(小数点后保留位),判断这两个变量是正相关还是负相关,并推断它们的线性相关程度;
(2)假设变量关于的一元线性回归模型为.
(ⅰ)求关于的经验回归方程,并预测当时的值;
(ⅱ)设为时该回归模型的残差,求、、、、的方差.
参考公式:,,.
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解答题-应用题
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适中
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解题方法
【推荐2】2019年,中国的国内生产总值(GDP)已经达到100亿元人民币,位居世界第二,这其中实体经济的贡献功不可没,实体经济组织一般按照市场化原则运行,某生产企业一种产品的成本由原料成本及非原料成本组成,每件产品的非原料成本(元)与生产该产品的数量(千件)有关,经统计得到如下数据:
根据以上数据绘制了如下的散点图
现考虑用反比例函数模型和指数函数模型分别对两个变量关系进行拟合,为此变换如下:令,则,即与也满足线性关系,令,则,即也满足线线关系,这样就可以使用最小二乘法求得非线性回归方程,已求得用指数函数模型拟合的回归方程为与的相关系数,参考数据如下(其中)
(1)求指数函数模型和反比例函数模型中关于的回归方程;
(2)试计算与的相关系数,并用相关系数判断:选择反比例函数和指数函数两个模型中哪一个拟合效果更好(精确到0.01)?
(3)根据(2)小题的选择结果,该企业采用订单生产模式(即根据订单数量进行生产,产品全部售出),根据市场调研数据,该产品定价为100元时得到签到订单的情况如下表:
已知每件产品的原来成本为10元,试估算企业的利润是多少?(精确到1千元)
参考公式:对于一组数据,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别是:相关系数:
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | |
112 | 61 | 44.5 | 35 | 30.5 | 28 | 25 | 24 |
现考虑用反比例函数模型和指数函数模型分别对两个变量关系进行拟合,为此变换如下:令,则,即与也满足线性关系,令,则,即也满足线线关系,这样就可以使用最小二乘法求得非线性回归方程,已求得用指数函数模型拟合的回归方程为与的相关系数,参考数据如下(其中)
183.4 | 0.34 | 0.115 | 1.53 | 360 | 22385.5 | 61.4 | 0.135 | 4.6 | 3.7 |
(2)试计算与的相关系数,并用相关系数判断:选择反比例函数和指数函数两个模型中哪一个拟合效果更好(精确到0.01)?
(3)根据(2)小题的选择结果,该企业采用订单生产模式(即根据订单数量进行生产,产品全部售出),根据市场调研数据,该产品定价为100元时得到签到订单的情况如下表:
订单数(千件) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
概率 |
参考公式:对于一组数据,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别是:相关系数:
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解答题-问答题
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适中
(0.65)
【推荐3】某农科所发现,一种作物的年收获量(单位:)与它“相近”作物的株数具有相关关系(所谓两株作物“相近”是指它们的直线距离不超过),并分别记录了相近作物的株数为时,该作物的年收获量的相关数据如下:
(1)根据研究发现,该作物的年收获量可能和它“相近”作物的株数有以下两种回归方程:,利用统计知识,结合相关系数比较使用哪种回归方程更合适;
(2)农科所在如下图所示的正方形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点)处都种了一株该作物,其中每个小正方形的面积为,若在所种作物中随机选取一株,求它的年收获量的分布列与数学期望.(注:年收获量以(1)中选择的回归方程计算所得数据为依据 )
参考公式:线性回归方程为,其中,,
相关系数;
参考数值:,,,其中.
n | 1 | 2 | 3 | 5 | 6 | 7 |
s | 60 | 55 | 53 | 46 | 45 | 41 |
(1)根据研究发现,该作物的年收获量可能和它“相近”作物的株数有以下两种回归方程:,利用统计知识,结合相关系数比较使用哪种回归方程更合适;
(2)农科所在如下图所示的正方形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点)处都种了一株该作物,其中每个小正方形的面积为,若在所种作物中随机选取一株,求它的年收获量的分布列与数学期望.(注:
参考公式:线性回归方程为,其中,,
相关系数;
参考数值:,,,其中.
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