【推荐1】一块边长为的正三角形薄铁片，按如图所示设计方案，裁剪下三个全等的四边形（每个四边形中有且只有一组对角为直角），然后用余下的部分加工制作成一个“无盖”的正三棱柱（底面是正三角形的直棱柱）形容器．

（1）请将加工制作出来的这个“无盖”的正三棱柱形容器的容积表示为关于的函数，并标明其定义域；
（2）若加工人员为了充分利用边角料，考虑在加工过程中，使用裁剪下的三个四边形材料恰好拼接成这个正三棱柱形容器的“顶盖”．请指出此时的值（不用说明理由），并求出这个封闭的正三棱柱形容器的侧面积．

【推荐2】如图，在直三棱柱中，，分别为，的中点．

(1)证明：直线平面；
(2)若，，求的体积．

【推荐1】如图所示，在直角梯形中，⊥, , =6,=4,=2，点,分别在、上,∥，并且为中点．现将四边形沿折起,使平面⊥平面
(1)证明：.
(2)在上确定一点，使得过、、的平面将三棱锥分成的两部分体积相等.

【推荐2】如图，四棱锥的底面是边长为1的正方形，侧棱是四棱锥的高，且，是侧棱上的中点.

（1）求证：平面；
（2）求三棱锥的体积.

【推荐1】如图所示，在五面体中，四边形是正方形，平面，，，，.

(1)求异面直线与所成角的余弦值；
(2)证明：平面.

【推荐2】如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为梯形，且满足AD＝1，CD＝2，BC＝3，AD∥BC，AD⊥DC，PD⊥底面ABCD，设平面PAD与平面PBC的交线为l．

(1)证明：l⊥平面PDC；
(2)若PD＝2，求异面直线AB与CP所成角的余弦值．

【推荐3】已知长方体中，，，M是中点.

(1)求直线BM与DB所成角的余弦值；
(2)求直线与平面夹角的余弦值.
(3)求三棱锥的体积

【推荐1】如图，矩形和菱形所在平面互相垂直，已知，点是线段的中点.

（1）求证：；
（2）试问在线段上是否存在点，使得直线平面？若存在，请证明平面，并求出的值；若不存在，请说明理由.

【推荐2】如图,在四棱锥中,底面为正方形,平面底面,，点，分别是，的中点.

（1）求证：平面；
（2）求证：平面；
（3）在棱上求作一点，使得，并说明理由.

【推荐3】如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，若，AD＝DC．试证明：

（1）AB₁∥面BC₁D；
（2）AB₁⊥BC₁