【推荐1】已知椭圆的两个焦点分别为、，短轴的一个端点为，内切圆的半径为，设过点的直线被椭圆截得的线段为，当轴时，.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)在轴上是否存在一点，使得当变化时，总有与所在直线关于轴对称？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

【推荐2】如图，在平面直角坐标系中，椭圆的焦距为，且过点.

（1）求椭圆的方程；
（2）若点分别是椭圆的左右顶点，直线经过点且垂直于轴，点是椭圆上异于的任意一点，直线交于点.
①设直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值；
②设过点垂直于的直线为 ，求证：直线过定点，并求出定点的坐标.

【推荐3】在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右顶点分别为、，焦距为2，直线与椭圆交于两点（均异于椭圆的左、右顶点）.当直线过椭圆的右焦点且垂直于轴时，四边形的面积为6.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线的斜率分别为.
①若，求证：直线过定点；
②若直线过椭圆的右焦点，试判断是否为定值，并说明理由.

【推荐1】已知椭圆经过点，且两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形．
（）求椭圆的方程．
（）动直线交椭圆于、两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点，使得以为直径的圆恒过点．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐2】已知①如图，长为，宽为的矩形，以、为焦点的椭圆恰好过两点.

②设圆的圆心为，直线过点，且与轴不重合，直线交圆于两点，过点作的平行线交于，判断点的轨迹是否椭圆
（1）在①②两个条件中任选一个条件，求椭圆的标准方程；
（2）根据（1）所得椭圆的标准方程，过原点且斜率不为0的直线与椭圆的交于两点，是椭圆的右顶点，直线，分别与轴交于点，，问以为直径的圆是否恒过轴上的定点？若恒过轴上的定点，请求出该定点的坐标，若不恒过轴上的定点，请说明理由.

【推荐3】已知椭圆，点为焦点，过且垂直于轴的直线交椭圆于S，T两点，且，点为x轴上一点，直线与椭圆C交于不同的两点A，B.
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线PA、PB分别交y轴于M、N两点，O为坐标系原点，问：x轴上是否存在点Q，使得？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

【推荐1】已知圆：()，O为平面直角坐标系的原点，点，M是圆上的任意一点，线段的垂直平分线与直线交于点P
（1）求点P的轨迹E的方程.
（2）已知点A为轨迹E上异于顶点的任意一点，连接并延长交轨迹E与于点B，点N是点B在x轴上的投影，连接并延长交轨迹E于点C，若，判断是否为定值.若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

【推荐2】已知椭圆，为椭圆的左右焦点，过右焦点垂直于轴的直线交椭圆于两点，若，且椭圆离心率.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知为椭圆上两个不同点，为中点，关于原点和轴的对称点分别是，直线在轴的截距为，直线在轴的截距为，试证明:为定值.

【推荐3】已知椭圆，离心率，过点.
(1)求的方程；
(2)直线过点，交椭圆于、两点，记，并设直线、直线的斜率分别为、，证明：.