某次比赛中,甲乙二人进入决赛并争夺冠军.比赛规则为:①每局比赛后,胜者获得3分,负者获得1分,比赛没有平局;②连续2局获胜或积分率先达到11分者可获得冠军,比赛结束.已知在单局比赛中,甲乙获胜的概率均为.
(1)求甲乙决出冠军时比赛局数的分布列与数学期望;
(2)求在甲获得冠军的条件下其积分达到11分的概率.
(1)求甲乙决出冠军时比赛局数的分布列与数学期望;
(2)求在甲获得冠军的条件下其积分达到11分的概率.
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更新时间:2024-03-28 22:02:52
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【推荐1】甲、乙两家外卖公司,其送餐员的日工资方案如下:甲公司的底薪70元,每单抽成3元;乙公司无底薪,40单以内(含40单)的部分每单抽成5元,超出40单的部分每单抽成7元,假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同,现从两家公司各随机抽取一名送餐员,并分别记录其100天的送餐单数,得到频数表如下:
甲公司送餐员送餐单数频数表
乙公司送餐员送餐单数频数表
将上表中的频率视为概率,回答下列问题:
(1)现从甲公司随机抽取3名送餐员,求恰有2名送餐员送餐单数超过40的概率;
(2)(i)记乙公司送餐员日工资为X(单位:元),求X的数学期望;
(ii)某人拟到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员,如果仅从日平均工资的角度考虑,他应该选择去哪家公司应聘,说明理由.
甲公司送餐员送餐单数频数表
送餐单数 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 |
天数 | 20 | 40 | 20 | 10 | 10 |
送餐单数 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 |
天数 | 10 | 20 | 20 | 40 | 10 |
(1)现从甲公司随机抽取3名送餐员,求恰有2名送餐员送餐单数超过40的概率;
(2)(i)记乙公司送餐员日工资为X(单位:元),求X的数学期望;
(ii)某人拟到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员,如果仅从日平均工资的角度考虑,他应该选择去哪家公司应聘,说明理由.
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(0.4)
名校
【推荐2】高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型,在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块,小木块之间留有适当的空隙作为通道,前面挡有一块玻璃,让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下,小球在下落的过程中与层层小木块碰撞,且等可能向左或向右滚下,最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内.如图1所示的高尔顿板有7层小木块,小球从通道口落下,第一次与第2层中间的小木块碰撞,以的概率向左或向右滚下,依次经过6次与小木块碰撞,最后掉入编号为1,2,…,7的球槽内.例如小球要掉入3号球槽,则在6次碰撞中有2次向右4次向左滚下.
(1)如图1,进行一次高尔顿板试验,求小球落入5号球槽的概率;
(2)小红、小明同学在研究了高尔顿板后,利用高尔顿板来到社团文化节上进行盈利性“抽奖”活动.小红使用图1所示的高尔顿板,付费6元可以玩一次游戏,小球掉入m号球槽得到的奖金为元,其中.小明改进了高尔顿板(如图2),首先将小木块减少成5层,然后使小球在下落的过程中与小木块碰撞时,有的概率向左,的概率向右滚下,最后掉入编号为1,2,……,5的球槽内,改进高尔顿板后只需付费4元就可以玩一次游戏,小球掉入n号球槽得到的奖金为元,其中.两位同学的高尔顿板游戏火爆进行,很多同学参加了游戏,你觉得小红和小明同学谁的盈利多?请说明理由.
(1)如图1,进行一次高尔顿板试验,求小球落入5号球槽的概率;
(2)小红、小明同学在研究了高尔顿板后,利用高尔顿板来到社团文化节上进行盈利性“抽奖”活动.小红使用图1所示的高尔顿板,付费6元可以玩一次游戏,小球掉入m号球槽得到的奖金为元,其中.小明改进了高尔顿板(如图2),首先将小木块减少成5层,然后使小球在下落的过程中与小木块碰撞时,有的概率向左,的概率向右滚下,最后掉入编号为1,2,……,5的球槽内,改进高尔顿板后只需付费4元就可以玩一次游戏,小球掉入n号球槽得到的奖金为元,其中.两位同学的高尔顿板游戏火爆进行,很多同学参加了游戏,你觉得小红和小明同学谁的盈利多?请说明理由.
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(0.4)
名校
【推荐3】核电站某项具有高辐射危险的工作需要工作人员去完成,每次只派一人,每人只派一次,工作时长不超过15分钟,若某人15分钟内不能完成该工作,则撤出,再派下一人,现有小胡、小邱、小邓三人可派,且他们各自完成工作的概率分别为,,.假设,,互不相等,且假定三人能否完成工作是相互独立.
(1)任务能被完成的概率是否与三个人被派出的先后顺序有关?试说明理由;
(2)若按某指定顺序派出,这三人各自能完成任务的概率依次为,,,其中,,是的一个排列.
①求所需派出人员数目X的分布列和数学期望;
②假定,为使所需派出的人员数目的数学期望达到最小,应以怎么样的顺序派出?
(1)任务能被完成的概率是否与三个人被派出的先后顺序有关?试说明理由;
(2)若按某指定顺序派出,这三人各自能完成任务的概率依次为,,,其中,,是的一个排列.
①求所需派出人员数目X的分布列和数学期望;
②假定,为使所需派出的人员数目的数学期望达到最小,应以怎么样的顺序派出?
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较难
(0.4)
【推荐1】在新冠肺炎疫情防控进入常态化的当下,某医院2020年准备招聘若干名医学硕士进行医学检验.在招聘的最后阶段,只有,,3名医学硕士进入实验检测环节的考核,医院给,,3名医学硕士各准备了7管血样,且均有2管含有某种病毒,其中含病毒的血样的检测结果呈阳性,不含病毒的血样的检测结果呈阴性.现要求这3人分别对7管血样逐一检测,1次只能检测1管,直至检测出含有某种病毒的2管血样
(1)若将7管血样随机编号为1,2,3,4,5,6,7,且按编号从小到大的顺序对血样进行检测,求其在第1管血样检测结果呈阳性的条件下,总共进行了4次检测的概率;
(2)求检测了6次的概率;
(3)已知,,均通过了实验检测环节的考核,医院又加试一个环节,即让,,3人进行血样中病毒的识别检验,若识别病毒的正确率为0.6,与识别病毒的正确率均为,每人只有1次识别病毒的机会,且识别结果互不影响,试比较在这次加试中,,,3名医学硕士中有1人识别病毒成功的概率与有2人识别病毒成功的概率的大小.
(1)若将7管血样随机编号为1,2,3,4,5,6,7,且按编号从小到大的顺序对血样进行检测,求其在第1管血样检测结果呈阳性的条件下,总共进行了4次检测的概率;
(2)求检测了6次的概率;
(3)已知,,均通过了实验检测环节的考核,医院又加试一个环节,即让,,3人进行血样中病毒的识别检验,若识别病毒的正确率为0.6,与识别病毒的正确率均为,每人只有1次识别病毒的机会,且识别结果互不影响,试比较在这次加试中,,,3名医学硕士中有1人识别病毒成功的概率与有2人识别病毒成功的概率的大小.
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(0.4)
解题方法
【推荐2】假设某种细胞分裂(每次分裂都是一个分裂成两个)和死亡的概率相同.如果一个种群从这样一个细胞开始变化,那么这个种群最终灭绝的概率是多少?
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(0.4)
名校
【推荐3】将三颗大小和质地完全相同的骰子各掷一次,记向上的数字作为投掷的结果.
(1)记事件A为“三个点数都不相同”,事件B为“没有出现3点”,计算;
(2)记各掷一次大小和质地完全相同的三颗骰子,向上出现的不同数字的个数为随机变量X,求随机变量X的分布列和数学期望.
(1)记事件A为“三个点数都不相同”,事件B为“没有出现3点”,计算;
(2)记各掷一次大小和质地完全相同的三颗骰子,向上出现的不同数字的个数为随机变量X,求随机变量X的分布列和数学期望.
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较难
(0.4)
【推荐1】某大学有A,B两个餐厅为学生提供午餐与晚餐服务,甲、乙两位学生每天午餐和晚餐都在学校就餐,近100天选择餐厅就餐情况统计如下:
假设甲、乙选择餐厅相互独立,用频率估计概率.
(1)分别估计一天中甲午餐和晚餐都选择A餐厅就餐的概率,乙午餐和晚餐都选择B餐厅就餐的概率;
(2)假设M表示事件“A餐厅推出优惠套餐”,N表示事件“某学生去A餐厅就餐”,,一般来说在推出优惠套餐的情况下学生去该餐厅就餐的概率会比不推出优惠套餐的情况下去该餐厅就餐的概率要大,证明:.
选择餐厅情况(午餐,晚餐) | ||||
甲 | 30天 | 20天 | 40天 | 10天 |
乙 | 20天 | 25天 | 15天 | 40天 |
(1)分别估计一天中甲午餐和晚餐都选择A餐厅就餐的概率,乙午餐和晚餐都选择B餐厅就餐的概率;
(2)假设M表示事件“A餐厅推出优惠套餐”,N表示事件“某学生去A餐厅就餐”,,一般来说在推出优惠套餐的情况下学生去该餐厅就餐的概率会比不推出优惠套餐的情况下去该餐厅就餐的概率要大,证明:.
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解答题-应用题
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较难
(0.4)
名校
【推荐2】甲、乙、丙、丁4名棋手进行象棋比赛,赛程如下面的框图所示,其中编号为的方框表示第场比赛,方框中是进行该场比赛的两名棋手,第场比赛的胜者称为“胜者”,负者称为“负者”,第6场为决赛,获胜的人是冠军.已知甲每场比赛获胜的概率均为 ,而乙、丙、丁相互之间胜负的可能性相同.(Ⅰ)求甲获得冠军的概率;
(Ⅱ)求乙进入决赛,且乙与其决赛对手是第二次相遇的概率.
(Ⅱ)求乙进入决赛,且乙与其决赛对手是第二次相遇的概率.
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解答题-问答题
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较难
(0.4)
【推荐1】在做数学卷多选题时考生通常有以下两种策略:
策略A:为避免有选错得0分,在四个选项中只选出一个自己最有把握的选项,将多选题当作“单选题”来做,选对得2分;
策略B:争取得5分,选出自己认为正确的全部选项,漏选得2分,全部选对得5分.
本次期末考试前,某同学通过模拟训练得出其在两种策略下作完成下面小题的情况如下表:
已知该同学作答两题的状态互不影响,但这两题总耗时若超过10分钟,其它题目会因为时间紧张而少得1分.根据以上经验解答下列问题:
(1)若该同学此次考试决定用以下方案:第11题采用策略B,第12题采用策略A,设他这两题得分之和为X,求X的分布列、均值及方差;
(2)若该同学期望得到高分,请你替他设计答题方案.
策略A:为避免有选错得0分,在四个选项中只选出一个自己最有把握的选项,将多选题当作“单选题”来做,选对得2分;
策略B:争取得5分,选出自己认为正确的全部选项,漏选得2分,全部选对得5分.
本次期末考试前,某同学通过模拟训练得出其在两种策略下作完成下面小题的情况如下表:
策略 | 概率 | 每题耗时(分钟) | ||
第11题 | 第12题 | |||
A | 选对选项 | 0.8 | 0.5 | 3 |
B | 部分选对 | 0.6 | 0.2 | 6 |
全部选对 | 0.3 | 0.7 |
(1)若该同学此次考试决定用以下方案:第11题采用策略B,第12题采用策略A,设他这两题得分之和为X,求X的分布列、均值及方差;
(2)若该同学期望得到高分,请你替他设计答题方案.
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解答题-应用题
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较难
(0.4)
名校
【推荐2】随着时代的不断发展,社会对高素质人才的需求不断扩大,我国本科毕业生中考研人数也不断攀升,2020年的考研人数是341万人,2021年考研人数是377万人.某省统计了该省其中四所大学2022年的毕业生人数及考研人数(单位:千人),得到如下表格:
(1)已知y与x具有较强的线性相关关系,求:y关于x的线性回归方程;
(2)假设该省对选择考研的大学生每人发放0.5万元的补贴.
①若该省大学2022年毕业生人数为8千人,估计该省要发放补贴的总全额:
②若大学的毕业生中小浙、小江选择考研的概率分别为,,该省对小浙、小江两人的考研补贴总金额的期望不超过0.75万元,求的取值范围.
参考公式:,.
大学 | A大学 | B大学 | C大学 | D大学 |
2022年毕业人数x(千人) | 7 | 6 | 5 | 4 |
2022年考研人数y(千人) | 0.5 | 0.4 | 0.3 | 0.2 |
(2)假设该省对选择考研的大学生每人发放0.5万元的补贴.
①若该省大学2022年毕业生人数为8千人,估计该省要发放补贴的总全额:
②若大学的毕业生中小浙、小江选择考研的概率分别为,,该省对小浙、小江两人的考研补贴总金额的期望不超过0.75万元,求的取值范围.
参考公式:,.
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解答题-证明题
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较难
(0.4)
名校
【推荐3】某知识测试的题目均为多项选择题,每道多项选择题有A,B,C,D这4个选项,4个选项中仅有两个或三个为正确选项.题目得分规则为:全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.已知测试过程中随机地从四个选项中作选择,每个选项是否为正确选项相互独立.若第一题正确选项为两个的概率为,并且规定若第题正确选项为两个,则第题正确选项为两个的概率为;第题正确选项为三个,则第题正确选项为三个的概率为.
(1)若第二题只选了“C”一个选项,求第二题得分的分布列及期望;
(2)求第n题正确选项为两个的概率;
(3)若第n题只选择B、C两个选项,设Y表示第n题得分,求证:.
(1)若第二题只选了“C”一个选项,求第二题得分的分布列及期望;
(2)求第n题正确选项为两个的概率;
(3)若第n题只选择B、C两个选项,设Y表示第n题得分,求证:.
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