【推荐1】设双曲线：的左、右焦点分别为，，为双曲线上一点，关于原点的对称点为，若四边形面积为，则这个四边形的周长为______.

【推荐2】双曲线C的左、右焦点分别为、，点A在y轴上.双曲线C与线段交于点P，与线段交于点Q，直线平行于双曲线C的渐近线，且，则双曲线C的离心率为______.

【推荐3】设P是双曲线Γ：上任意一点，Q与P关于x轴对称，F₁、F₂分别为双曲线的左、右焦点，若有，则与夹角的余弦值的取值范围是_______．

【推荐1】已知，是双曲线的左，右焦点，点M是双曲线C在第一象限上一点，设I，G分别为的内心和重心，若IG与y轴平行，则________．

【推荐2】已知双曲线：与椭圆：有公共的焦点，，且与在第一象限的交点为M，若的面积为1，则a的值为______．

【推荐3】已知点分别是双曲线的左、右焦点，为坐标原点，点在双曲线的右支上，且满足，，则双曲线的离心率的取值范围为__________．

【推荐1】在天文望远镜的设计中利用了双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点出发的入射光线经双曲线镜面反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.如图，已知双曲线的左、右焦点分别为是的右支上一点，直线与相切于点.由点出发的入射光线碰到点后反射光线为，法线（在光线投射点与分界面垂直的直线）交轴于点，此时直线起到了反射镜的作用.若，则的离心率为______.

   

【推荐2】双曲线的对称中心为，倾斜角是的直线过的右焦点，并且交的右支于、两点，在第一象限内，若，则的离心率是________．

【推荐3】已知双曲线的左､右焦点分别为，，A是的一条渐近线上的一点，且，，则双曲线的离心率为___________.