已知双曲线
的右焦点为
，经过点F的直线l交C于A，B两点．当直线l的斜率为1时，
．
(1)求C的标准方程；
(2)经过点F的直线
交C于P，Q两点，直线
，记AB，PQ的中点分别为M，N，求证：直线MN过定点．
的右焦点为，经过点F的直线l交C于A，B两点．当直线l的斜率为1时，．(1)求C的标准方程；
(2)经过点F的直线
交C于P，Q两点，直线，记AB，PQ的中点分别为M，N，求证：直线MN过定点．
更新时间：2024-04-15 19:17:10
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(0.4)
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解题方法
【推荐1】已知椭圆
短轴端点和两个焦点的连线构成正方形，且该正方形的内切圆方程为
.
(1)求椭圆
的方程；
(2)若抛物线
的焦点与椭圆的一个焦点
重合，直线
与抛物线
交于两点
，且
，求
的面积的最大值.
短轴端点和两个焦点的连线构成正方形，且该正方形的内切圆方程为.(1)求椭圆
的方程；(2)若抛物线
的焦点与椭圆的一个焦点重合，直线与抛物线交于两点，且，求的面积的最大值.
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【推荐2】已知抛物线
：
的焦点F也是双曲线
：
的一个焦点，与公共弦的长为
.
(1)求的方程；
(2)过F的直线l与交于A，B两点，与上支交于C，D两点，且
与
同向.
（i）若
，求直线l的斜率；
（ii）设在点A处的切线与x轴交于点M，试判断点F与以MD为直径的圆的位置关系.
：的焦点F也是双曲线：的一个焦点，与公共弦的长为.(1)求
的方程；(2)过F的直线l与
交于A，B两点，与上支交于C，D两点，且与同向.（i）若
，求直线l的斜率；（ii）设
在点A处的切线与x轴交于点M，试判断点F与以MD为直径的圆的位置关系.
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解答题-证明题
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【推荐1】直线
与双曲线
相交于
、
两点，
为坐标原点，且
．
（1）求
与
满足的关系；
（2）求证：点到直线
的距离是定值，并求
的最小值．
与双曲线相交于、两点，为坐标原点，且．（1）求
与满足的关系；（2）求证：点
到直线的距离是定值，并求的最小值．
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【推荐2】已知双曲线
的焦距为4，虚轴长为2，左右焦点分别为
和
.直线
与曲线交于不同的两点
.
(1)求双曲线的方程及其离心率
；
(2)如果直线
过点且
，求直线的方程；
(3)是否存在直线使得
两点都在以
为圆心的圆上？如果存在，求的取值范围；如果不存在，请说明理由.
的焦距为4，虚轴长为2，左右焦点分别为和.直线与曲线交于不同的两点.(1)求双曲线
的方程及其离心率；(2)如果直线
过点且，求直线的方程；(3)是否存在直线
使得两点都在以为圆心的圆上？如果存在，求的取值范围；如果不存在，请说明理由.
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【推荐3】圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形. 在一次以“圆锥曲线的阿基米德三角形”为主题的数学探究活动中，甲同学以如图示的抛物线C：
的阿基米德三角形
为例，经探究发现：若AB为过焦点的弦，则：①点P在定直线上；②
；③
.已知△PAB为等轴双曲线
的阿基米德三角形，AB过Γ的右焦点F.
(1)试探究甲同学得出的结论，类比到此双曲线情境中，是否仍然成立？（选择一个结论进行探究即可）
(2)若
，弦AB的中点为Q，
，求点P的坐标.
（注：双曲线
的以
为切点的切线方程为
的阿基米德三角形为例，经探究发现：若AB为过焦点的弦，则：①点P在定直线上；②；③.已知△PAB为等轴双曲线的阿基米德三角形，AB过Γ的右焦点F.(1)试探究甲同学得出的结论，类比到此双曲线情境中，是否仍然成立？（选择一个结论进行探究即可）
(2)若
，弦AB的中点为Q，，求点P的坐标.（注：双曲线
的以为切点的切线方程为
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【推荐1】已知双曲线
的虚轴长为2，点
到C的渐近线的距离为
．
(1)求双曲线C的标准方程．
(2)若斜率不为零的直线l与C交于A，B两点，y轴恰是
的平分线，试问：直线l是否过定点？若过定点，求该定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
的虚轴长为2，点到C的渐近线的距离为．(1)求双曲线C的标准方程．
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的平分线，试问：直线l是否过定点？若过定点，求该定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
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【推荐2】如图，双曲线的中心在原点，焦距为
，左、右顶点分别为A，B，曲线C是以双曲线的实轴为长轴，虚轴为短轴，且离心率为
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(1)求椭圆及双曲线的标准方程；
(2)设MN与x轴交于点T，是否存在点P使得
（其中
，
为点P，T的横坐标），若存在，求出P点的坐标，若不存在，请说明理由．
，左、右顶点分别为A，B，曲线C是以双曲线的实轴为长轴，虚轴为短轴，且离心率为的椭圆，设P在第一象限且在双曲线上，直线BP交椭圆于点M，直线AP与椭圆交于另一点N．(1)求椭圆及双曲线的标准方程；
(2)设MN与x轴交于点T，是否存在点P使得
（其中，为点P，T的横坐标），若存在，求出P点的坐标，若不存在，请说明理由．
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，直线
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【推荐1】已知双曲线的实轴长为
，右焦点F到双曲线C的渐近线距离为1．
(1)求双曲线C的方程；
(2)点P在第一象限，
在直线
上，点
均在双曲线C上，且
轴，M在直线
上，
三点共线．从下面①②中选取一个作为条件，证明另外一个成立：①Q是
的中点；②直线过定点
．
的实轴长为，右焦点F到双曲线C的渐近线距离为1．(1)求双曲线C的方程；
(2)点P在第一象限，
在直线上，点均在双曲线C上，且轴，M在直线上，三点共线．从下面①②中选取一个作为条件，证明另外一个成立：①Q是的中点；②直线过定点．
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解题方法
【推荐2】已知双曲线
过点
，且该双曲线的虚轴端点与两顶点
的张角为
．
（1）求双曲线的方程；
（2）过点
的直线与双曲线左支相交于点
，直线
与
轴相交于两点，求
的取值范围．
过点，且该双曲线的虚轴端点与两顶点的张角为．（1）求双曲线
的方程；（2）过点
的直线与双曲线左支相交于点，直线与轴相交于两点，求的取值范围．
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的连线与
且斜率不为零的直线
的取值范围；
是点
过定点．
