【推荐1】已知椭圆：（）的短轴长为4，离心率为．点为圆：上任意一点，为坐标原点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)记线段与椭圆交点为，求的取值范围．

【推荐2】如图，椭圆：内切于矩形，其中，与轴平行，直线，的斜率之积为，椭圆的焦距为2.

(1)求椭圆的标准方程；
(2)椭圆上的点，满足直线，的斜率之积为，其中为坐标原点.若为线段的中点，则是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，说明理由.

【推荐3】在平面直角坐标系中，过椭圆右焦点的直线交椭圆于两点，为的中点，且直线的斜率为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设另一直线与椭圆交于两点，原点到直线的距离为，求面积的最大值．

【推荐1】已知动圆经过点，并且与圆相切．
(1)求点的轨迹的方程；
(2)动直线过点，且与轨迹分别交于，两点，点与点关于轴对称（点与点不重合），求证：直线恒过定点．

【推荐2】已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆，其离心率，点在椭圆上.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过椭圆的左顶点做两条直线，分别与椭圆交于M、N两点，满足，求点到直线距离的最大值.

【推荐3】已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆，它的离心率为，一个焦点和抛物线的焦点重合,过直线上一点M引椭圆的两条切线，切点分别是A，B.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若在椭圆上的点处的椭圆的切线方程是. 求证:直线恒过定点；并出求定点的坐标.
（Ⅲ）是否存在实数，使得恒成立？(点为直线恒过的定点)若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

【推荐1】已知椭圆过点，离心率为，直线与椭圆相交于不同的两点，.
（1）求椭圆的方程；
（2）在轴上是否存在点，使是与无关的常数？若存在，求出点的坐标，并求出此常数；若不存在，请说明理由.

【推荐2】在平面直角坐标系中，已知定点，动点满足.记点的轨迹为.
(1)求曲线的方程；
(2)经过且不垂直于坐标轴的直线与交于两点，轴上点满足，证明：为定值，并求出该值.

【推荐3】已知椭圆C：的离心率为，且过点
(1)求C的方程
(2)已知A，B是C的左右顶点，过右焦点F且斜率不为0的直线交C于点M，N，直线AM与直线x=4，交于点P，记PA，PF，BN的斜率分别为，问，是否是定值如果是，请求出该定值，如果不是，请说明理由.