正态曲线及其性质
(1)正态曲线:我们称,,其中,时为参数,为正态密度函数,称它的图象为正态密度曲线,简称正态曲线.
(2)正态分布:若随机变量X的概率分布密度函数为,则称随机变量X服从正态分布,记为_________ .特别地,当,时,称随机变量X服从________ 正态分布.
(3)正态分布的期望与方差:若,则______ , _______ .
(4)正态曲线的特点:
①非负性:对,,它的图象在x轴的上方.
②定值性:曲线与x轴之间的面积为1.
③对称性:曲线是单峰的,它关于直线________ 对称.
④最大值:曲线在处达到峰值.
⑤当无限增大时,曲线无限接近x轴.
⑥当一定时,曲线的位置由确定,曲线随着的变化而沿轴平移,如图①.
⑦当一定时,曲线的形状由确定,较小时曲线“瘦高”,表示随机变量X的分布比较集中;较大时,曲线“矮胖”,表示随机变量X的分布比较分散,如图②.(5)正态分布的几何意义:若,如图所示,X取值不超过的概率为图中区域A的面积,而为区域B的面积.
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(1)正态曲线:我们称,,其中,时为参数,为正态密度函数,称它的图象为正态密度曲线,简称正态曲线.
(2)正态分布:若随机变量X的概率分布密度函数为,则称随机变量X服从正态分布,记为
(3)正态分布的期望与方差:若,则
(4)正态曲线的特点:
①非负性:对,,它的图象在x轴的上方.
②定值性:曲线与x轴之间的面积为1.
③对称性:曲线是单峰的,它关于直线
④最大值:曲线在处达到峰值.
⑤当无限增大时,曲线无限接近x轴.
⑥当一定时,曲线的位置由确定,曲线随着的变化而沿轴平移,如图①.
⑦当一定时,曲线的形状由确定,较小时曲线“瘦高”,表示随机变量X的分布比较集中;较大时,曲线“矮胖”,表示随机变量X的分布比较分散,如图②.(5)正态分布的几何意义:若,如图所示,X取值不超过的概率为图中区域A的面积,而为区域B的面积.
(6)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值
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23-24高二下·全国·课前预习 查看更多[1]
(已下线)7.5 正态分布——预习自测
更新时间:2024-05-03 09:57:22
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解题方法
【推荐1】正态分布
(1)连续型随机变量:随机变量的取值充满某个区间甚至整个实轴,但取一点的概率为___ ,我们称这类随机变量为连续型随机变量.
(2)正态分布:函数f(x)=,x∈R,其中μ∈R,σ>0为参数. 我们称f(x)为_________ ,称它的图象为正态密度曲线,简称________ ,如图所示. 若随机变量X的概率分布密度函数为f(x),则称随机变量X服从__________ . 记为X~_______ . 特别地,当_____________ 时,称随机变量X服从标准正态分布. 若X~N(μ,σ2),则如图所示,X取值不超过x的概率P(X≤x)为图中区域A的面积,而P(a≤X≤b)为区域B的面积.
(3)正态曲线的特点
①曲线是单峰的,它关于直线________ 对称;
②曲线在x=μ处达到峰值________ ;
③当|x|无限增大时,曲线无限接近_______ .
④在参数σ取固定值时,正态曲线的位置由μ确定,且随着μ的变化而沿x轴平移,如图1所示. 图1
⑤当μ取定值时,正态曲线的形状由σ确定. 当σ较小时,峰值高,曲线______ ,表示随机变量X的分布比较______ ;当σ较大时,峰值低,曲线______ ,表示随机变量X的分布比较______ ,如图2所示. 图2
(4)正态分布的均值、方差:若X~N(μ,σ2),则E(X)=μ,D(X)=σ2.
(5)正态分布在三个特殊区间内取值的概率值
①P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0. 682 7;
②P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0. 954 5;
③P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0. 997 3.
在实际应用中,通常认为服从于正态分布N(μ,σ2)的随机变量X只取[μ-3σ,μ+3σ]中的值,这在统计学中称为3σ原则.
(6)正态分布计算常用结论
①P(X<a)=1-P(X≥a).
②P(X<μ-a)=P(X≥μ+a).
③P(X<μ-b)= (b>0).
(1)连续型随机变量:随机变量的取值充满某个区间甚至整个实轴,但取一点的概率为
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①曲线是单峰的,它关于直线
②曲线在x=μ处达到峰值
③当|x|无限增大时,曲线无限接近
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