【推荐1】若存在常数，使得对于任意，都有，则称数列为数列.
（1）已知数列是公差为的等差数列，其前项和为，若为数列，求的取值范围；
（2）已知数列的各项均为正数，记的前项和为，数列的前项和为，且，，若数列满足，且为数列，求的最大值；
（3）已知正项数列满足：，且数列为数列，数列为数列，若，求证：数列中必存在无穷多项可以组成等比数列.

【推荐2】已知数列满足
(1)若数列满足，证明：数列是等比数列；
(2)若数列满足，
①证明：数列是等差数列；
②若数列满足且，证明：数列中的每一项均不小于.

【推荐3】已知，，是直线上的个不同的点（，、，均为非零常数），其中数列为等差数列.
（1）求证：数列是等差数列；
（2）若点是直线上一点，且，求证：；
（3）设，且当时，恒有（和都是不大于的正整数，且）试探索：若为直角坐标原点，在直线上是否存在这样的点，使得成立？请说明你的理由．

【推荐1】设是等比数列，公比大于0，是等差数列，.已知，，，.
（Ⅰ）求和的通项公式；
（Ⅱ）设数列满足，，其中
（i）求数列的通项公式；
（ii）若的前n项和，求.

【推荐2】已知数列满足且，数列的前项和为.
（1）求数列的通项；
（2）求；
（3）设，求证：≥.

【推荐3】设数列的前项和为，已知，，．,设
(1)求证：数列是等比数列；
(2)若数列是单调递增数列，求实数的取值范围．