【推荐1】如图1，椭圆的左右焦点分别为，，点、分别为椭圆与轴负半轴、轴正半轴的交点，且椭圆上的点满足，.

(1)求椭圆的标准方程；
(2)图2中矩形的四条边分别与椭圆相切，求矩形面积的取值范围.

【推荐2】已知椭圆方程为：椭圆的右焦点为，离心率为，直线与椭圆相交于，两点，且
（1）椭圆的方程；
（2）求的面积的最大值.
（3）若椭圆的右顶点为，上顶点为，经过原点的直线与椭圆交于，两点，该直线与直线交于点，且点，均在第四象限.若的面积是面积的倍，求该直线方程．

【推荐3】已知椭圆的离心率为，，是C的顶点，点M是第一象限内的动点，已知的斜率之比为．
(1)证明：点M在一条定直线上；
(2)设与椭圆C分别交于另外的两点，证明直线过定点．

【推荐1】已知椭圆的右焦点为，且椭圆过点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过椭圆左焦点的直线与椭圆交于A，B两点，直线，过点作直线的垂线，与直线交于点，求的最小值和此时直线的方程．

【推荐2】在平面直角坐标系中，圆O交x轴于点F₁，F₂，交y轴于点B₁，B₂．以B₁，B₂为顶点，F₁，F₂分别为左、右焦点的椭圆E，恰好经过点．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）设经过点（﹣2，0）的直线l与椭圆E交于M，N两点，求△F₂MN面积的最大值．

【推荐3】已知抛物线的焦点为，直线：交抛物线于两点，．

（1）若的中点为，直线的斜率为，证明：为定值；
（2）求面积的最大值．

【推荐1】已知椭圆的离心率为是椭圆上的一动点，点到点的距离的最大值为．
(1)求椭圆的方程．
(2)设是椭圆上的一点，O是坐标原点，直线与椭圆交于两点，且是线段的中点．以为切点作椭圆的切线，与椭圆交于两点，试问四边形的面积是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．

【推荐2】已知椭圆 的焦距为，斜率为的直线与椭圆交于两点，若线段的中点为，且直线的斜率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）若过左焦点斜率为的直线与椭圆交于点为椭圆上一点，且满足，问：是否为定值？若是，求出此定值，若不是，说明理由.

【推荐3】给定椭圆，称圆心在原点，半径为的圆是椭圆的“伴随圆”．若椭圆的一个焦点为，其短轴上的一个端点到的距离为．
(1)求椭圆的方程及其“伴随圆”方程；
(2)若倾斜角为的直线与椭圆只有一个公共点，且与椭圆的伴随圆相交于、两点，求弦的长；
(3)点是椭圆的伴随圆上的一个动点，过点作直线、，使得、与椭圆都只有一个公共点，求证：⊥.