【推荐1】已知椭圆：的右焦点为，左、右顶点分别为，点为上除，外的任意一点，且始终有.
(1)求椭圆的标准方程.
(2)过点作椭圆的两条切线和，若，试问:是否存在最大值?若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由.

【推荐2】如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，C为椭圆上位于第一象限内的一点.

（1）若点C的坐标为，求a，b的值；
（2）设A为椭圆的左顶点，B为椭圆上一点，且，求直线的斜率.

【推荐3】已知椭圆的离心率为，其上顶点为，左焦点为，原点到直线的距离等于．
（1）求椭圆的方程；
（2）若过点的直线与椭圆相交于，两点，且，求直线的方程．

【推荐1】如图所示，已知椭圆：的长轴为，过点的直线与轴垂直，椭圆上一点与椭圆的长轴的两个端点构成的三角形的最大面积为2，且椭圆的离心率为.

（1）求椭圆的标准方程；
（2） 设是椭圆上异于，的任意一点，连接并延长交直线于点，点为的中点，试判断直线与椭圆的位置关系，并证明你的结论.

【推荐2】已知两点，动点在轴上的投影是，且.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）过作互相垂直的两条直线交轨迹于，且分别是的中点.求证：直线恒过定点.

【推荐3】已知椭圆 C： 的焦距为2，且过点，右焦点为．设A，B 是C上的两个动点，线段 AB 的中点M 的横坐标为，线段AB的中垂线交椭圆C于P，Q 两点．

（1）求椭圆 C 的方程；
（2）设M点纵坐标为m，求直线PQ的方程，并求的取值范围．

【推荐1】已知椭圆的左、右焦点分别为，．过焦点且垂直于轴的直线与椭圆相交所得的弦长为3，直线与椭圆相切．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设过点的直线与椭圆相交于，两点，若，问直线是否存在？若存在，求直线的斜率的取值范围；若不存在，请说明理由．

【推荐2】已知O为坐标系原点，椭圆的右焦点为点F，右准线为直线n.
（1）过点的直线交椭圆C于两个不同点，且以线段为直径的圆经过原点O，求该直线的方程；
（2）已知直线l上有且只有一个点到F的距离与到直线n的距离之比为.直线l与直线n交于点N，过F作x轴的垂线，交直线l于点M.求证：为定值.

【推荐3】已知①如图，长为，宽为的矩形，以､为焦点的椭圆恰好过两点

②设圆的圆心为，直线过点，且与轴不重合，直线交圆于两点，过点作的平行线交于，判断点的轨迹是否椭圆
（1）在①②两个条件中任选一个条件，求椭圆的标准方程；
（2）根据（1）所得椭圆的标准方程，不与坐标轴平行的直线与椭圆相切点，求直线与直线的斜率之积.

【推荐1】已知菱形的顶点，在椭圆上，对角线所在直线的斜率为．
（）当直线过点时，求直线的方程．
（）当时，求菱形面积的最大值．

【推荐2】已知，为椭圆E：的左、右焦点，过点的直线l与椭圆E有且只有一个交点T．
（1）求面积的取值范围．
（2）若有一束光线从点射出，射在直线l上的T点上，经过直线l反射后，试问反射光线是否恒过定点？若是，请求出该定点；若否，请说明理由．

【推荐3】已知A′，A分别是椭圆C：（a＞b＞0）的左、右顶点，B，F分别是C的上顶点和左焦点．点P在C上，满足PF⊥A′A，AB∥OP，|FA′|＝2．
(1)求C的方程；
(2)过点F作直线l（与x轴不重合）交C于M，N两点，设直线AM，AN的斜率分别为k₁，k₂，求证：k₁k₂为定值．