【推荐1】在城市旧城改造中，某小区为了升级居住环境，拟在小区的闲置地中规划一个面积为的矩形区域（如图所示），按规划要求：在矩形内的四周安排宽的绿化，绿化造价为200元，中间区域地面硬化以方便后期放置各类健身器材，硬化造价为100元，设矩形的长为，总造价为（元）.

(1)将表示为关于的函数；
(2)当取何值时，总造价最低.

【推荐2】近日，随着新冠肺炎疫情在多地零星散发，为最大程度减少人员流动，减少疫情发生的可能性，高邮政府积极制定政策，决定政企联动，鼓励企业在国庆期间留住员工在本市过节并加班追产，为此，高邮政府决定为波司登制衣有限公司在国庆期间加班追产提供（万元）的专项补贴．波司登制衣有限公司在收到高邮政府（万元）补贴后，产量将增加到（万件）．同时波司登制衣有限公司生产（万件）产品需要投入成本为（万元），并以每件元的价格将其生产的产品全部售出．注：收益=销售金额政府专项补贴成本．
(1)求波司登制衣有限公司国庆期间，加班追产所获收益（万元）关于政府补贴（万元）的表达式；
(2)高邮政府的专项补贴为多少万元时，波司登制衣有限公司国庆期间加班追产所获收益（万元）最大？

【推荐3】已知，求的最大值.

【推荐1】已知椭圆：的一个顶点恰好是抛物线：的焦点，离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设，，，是椭圆上一点，且不与顶点重合，若直线与直线交于点，直线与直线交于点.证明是等腰三角形.

【推荐2】在平面直角坐标系中，已知椭圆经过点，离心率为．
（1）求的方程；
（2）过的左焦点且斜率不为的直线与相交于，两点，线段的中点为，直线与直线相交于点，若为等腰直角三角形，求的方程．

【推荐3】设直线和椭圆有且仅有一个公共点，求和的取值范围．

【推荐1】已知椭圆的右焦点为，直线与椭圆交于，两点．
（1）当时，求弦长；
（2）当时，求的面积．

【推荐2】已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆过点，离心率．

（1）求椭圆的方程；
（2）如图，动直线与椭圆有且仅有一个公共点，
求，满足的关系式；
如图，、为椭圆的左、右焦点，作，，垂足分别为、，四边形的面积是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由．

【推荐3】①过且垂直于长轴的直线与椭圆C相交所得的弦长为3；②P为椭圆C上一点，面积最大值为.在上述两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答.
设椭圆左右焦点分别为，，上下顶点分别为，，短轴长为，______.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点的直线l与C交于不同的两点M，N，若，试求内切圆的面积.