【推荐1】设数列的前项和为，对于任意的，都有.
（1）求数列的首项及数列的递推关系式；
（2）若数列成等比数列，求常数的值，并求数列的通项公式；
（3）数列中是否存在三项、、，它们组成等差数列？若存在，请求出一组适合条件的项；若不存在，请说明理由.

【推荐2】已知数列的前项和为，且，.
（1）求的通项公式；
（2）记，若对于任意，总有成立，求实数的取值范围；
（3）设为数列的前项和，其中，问是否存在正整数，，使成立，若存在，求出正整数，；若不存在，请说明理由.

【推荐3】对于数列，如果存在一个正整数，使得对任意的都有成立，那么就把这样一类数列称作周期为的周期数列，的最小值称作数列的最小正周期，以下简称周期.例如当时是周期为１的周期数列，当时是周期为4的周期数列.
（1）设数列满足不同时为0），求证：数列是周期为6的周期数列，并求数列的前2012项的和；
（2）设数列的前项和为，且.
①若，试判断数列是否为周期数列，并说明理由；
②若，试判断数列是否为周期数列，并说明理由；
（3）设数列满足数列的前项和为，试问是否存在实数，使对任意的都有成立，若存在，求出的取值范围；不存在，说明理由.

【推荐1】记是数列的前项和，已知，数列满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.

【推荐2】记为等差数列的前n项和，已知，.
(1)求的通项公式；
(2)证明：.

【推荐3】已知数列的前n项和为，满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）记，数列的前项和为.求证：；
（3）数列满足，试比较与的大小，并说明理由.