【推荐1】设双曲线经过点，且它的一条渐近线方程为，则双曲线的方程为___________；双曲线的离心率为___________.

【推荐2】已知双曲线的一条渐近线方程为，且过点，M，N为双曲线上的两动点，以M，N为直径的圆过原点O，则______．

【推荐3】古希腊的几何学家用平面去截一个圆锥面，将所截得的不同的截线称为圆锥曲线.某同学用过母线的中点且与底面圆的直径垂直的平面截圆锥，得到了如图所示的一支双曲线.已知圆锥的高，底面圆的半径为4，则此双曲线的两条渐近线的夹角的正弦值为___________.

【推荐1】已知点为双曲线的右焦点，两点在双曲线上，且关于原点对称，若，设，且，则该双曲线的焦距的取值范围是________.

【推荐2】圆锥曲线具有优美的光学性质，如：光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点.光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出.已知以坐标轴为渐近线的等轴双曲线：的图象以直线为对称轴，从其中一个焦点发出的光线经双曲线反射后得到的反射光线与入射光线垂直，则入射光线与的交点到中心的距离为____________.

【推荐3】如图：双曲线的左右焦点分别为，，过原点O的直线与双曲线C相交于P，Q两点，其中P在右支上，且，则的面积为___________.

【推荐1】在平面直角坐标系中，设直线：与双曲线：的两条渐近线都相交且交点都在轴左侧，则双曲线的离心率的取值范围是________.

【推荐2】已知 为坐标原点，等轴双曲线的右焦点为，点 在双曲线 上，由向双曲线的渐近线作垂线，垂足分别为、，则四边形的面积为______.

【推荐3】设双曲线的左、右焦点为，，为该双曲线上一点且，若，则该双曲线的离心率为______渐近线方程为______