定义非零向量
的“相伴函数”为
（
），向量称为函数的“相伴向量”（其中
为坐标原点），记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为
.
（1）已知
（
），求证：
，并求函数
的“相伴向量”模的取值范围；
（2）已知点（
）满足
，向量
的 “相伴函数”
在
处取得最大值，当点
运动时，求
的取值范围.
的“相伴函数”为（），向量称为函数的“相伴向量”（其中为坐标原点），记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为.（1）已知
（），求证：，并求函数的“相伴向量”模的取值范围；（2）已知点
（）满足，向量的 “相伴函数”在处取得最大值，当点运动时，求的取值范围.
17-18高一下·广东中山·期末 查看更多[2]
【全国市级联考】广东省中山市2017-2018学年高一下学期期末水平测试数学试题（已下线）专题09 《直线与方程》中的取值范围与最值问题（1）-2021-2022学年高二数学同步培优训练系列（苏教版2019选择性必修第一册）
更新时间：2018-07-14 11:07:33
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解答题-证明题
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较难
(0.4)
解题方法
【推荐1】在一张纸上有一圆
，定点
，折叠纸片使圆C上某一点
恰好与点M重合，这样每次折叠都会留下一条直线折痕EF，设折痕EF与直线
的交点为T．
(1)求证：
为定值，并求出点
的轨迹
方程；
(2)已知点
，直线l交于P，Q两点，直线AP、AQ的斜率之和为0．若
，求
的面积．
，定点，折叠纸片使圆C上某一点恰好与点M重合，这样每次折叠都会留下一条直线折痕EF，设折痕EF与直线的交点为T．(1)求证：
为定值，并求出点的轨迹方程；(2)已知点
，直线l交于P，Q两点，直线AP、AQ的斜率之和为0．若，求的面积．
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解答题-问答题
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较难
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名校
解题方法
【推荐2】已知直角梯形
，
，
，
，扇形圆心角
，
，如图，将
，
以及扇形
的面积分别记为
的表达式，并指出其大小关系（不需证明）；
(2)用
表示梯形的面积
；并证明：
；
(3)设
，
，试用代数计算比较
与
的大小.
，，，，扇形圆心角，，如图，将，以及扇形的面积分别记为
的表达式，并指出其大小关系（不需证明）；(2)用
表示梯形的面积；并证明：；(3)设
，，试用代数计算比较与的大小.
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的焦点为F，过点F作倾斜角为45°的直线
，交C于M，N两点，且
.
作直线与C相交于A，B两点，线段
，求直线
解答题-证明题
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较难
(0.4)
名校
解题方法
【推荐1】设函数
定义在区间
上，若对任意的
、
、
、
，当
，且
时，不等式
成立，就称函数具有M性质.
(1)判断函数
，
是否具有M性质，并说明理由；
(2)已知函数在区间上恒正，且函数
，
具有M性质，求证：对任意的、，且
，有
；
(3)①已知函数，具有M性质，证明：对任意的、、
，有
，其中等号当且仅当
时成立；
②已知函数
，
具有M性质，若
、
、
为三角形
的内角，求
的最大值.
(可参考：对于任意给定实数
、
，有
，且等号当且仅当
时成立.)
定义在区间上，若对任意的、、、，当，且时，不等式成立，就称函数具有M性质.(1)判断函数
，是否具有M性质，并说明理由；(2)已知函数
在区间上恒正，且函数，具有M性质，求证：对任意的、，且，有；(3)①已知函数
，具有M性质，证明：对任意的、、，有，其中等号当且仅当时成立；②已知函数
，具有M性质，若、、为三角形的内角，求的最大值.(可参考：对于任意给定实数
、，有，且等号当且仅当时成立.)
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解答题-应用题
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较难
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名校
【推荐2】城市住宅小区的绿化建设是提升小区品质､改善空气质量､创造美丽怡人的居住环境的重要组成部分.如图1，长沙市某小区居民决定在小区内部一块半径长为
的半圆形荒地上建设一块矩形绿化园
，其中
位于半圆的直径上，
位于半圆的圆弧上，记
.面积关于
的函数解析式，并求该矩形面积的最大值以及取得最大值时的值.
(2)部分居民提出意见，认为这样的绿化同建设太过单调，一名居住在本小区的设计师提出了如图2的绿化园建设新方案：在半圆的圆弧上取两点
，使得
，扇形区域
和
均进行绿化建设，同时，在扇形
内，再将矩形区域
也全部进行绿化建设，其中
分别在直线
上，
与
平行，
在扇形的圆弧上，请问：与（1）中的原方案相比，选择哪一种方案所得到的绿化面积的最大值更大？
的半圆形荒地上建设一块矩形绿化园，其中位于半圆的直径上，位于半圆的圆弧上，记.
面积关于的函数解析式，并求该矩形面积的最大值以及取得最大值时的值.(2)部分居民提出意见，认为这样的绿化同建设太过单调，一名居住在本小区的设计师提出了如图2的绿化园建设新方案：在半圆
的圆弧上取两点，使得，扇形区域和均进行绿化建设，同时，在扇形内，再将矩形区域也全部进行绿化建设，其中分别在直线上，与平行，在扇形的圆弧上，请问：与（1）中的原方案相比，选择哪一种方案所得到的绿化面积的最大值更大？
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，其中
．
的取值范围；
，令
，求实数t的取值范围．
