【推荐1】已知椭圆：的一个顶点为，离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设，分别为椭圆的左、右顶点， 过左焦点且斜率为的直线与椭圆交于C，D两点．若，求的值．

【推荐2】已知椭圆：（）的上顶点到右顶点的距离为，左焦点为，过点且斜率为的直线交椭圆于，两点．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程及的取值范围；
（Ⅱ）在轴上是否存在定点，使恒为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐3】已知椭圆E：的右顶点为A，右焦点为F，上､下顶点分别为B，C，，直线CF交线段AB于点D，且.
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)是否存在直线l，使得l交E于M，N两点.且F恰是△BMN的垂心？若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由.

【推荐1】设分别是椭圆的左、右焦点，两点分别是椭圆的上、下顶点，是等腰直角三角形，延长交椭圆于点，且的周长为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设点是椭圆上异于的动点，直线与直线分别相交于两点，点，试问：外接圆是否恒过轴上的定点（异于点）？若是，求该定点坐标；若否，说明理由.

【推荐2】已知椭圆的离心率为，直线恒过椭圆的右焦点.
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线与椭圆交于两点，在轴上是否存在定点，使得当变化时，总有直线的斜率和直线的斜率满足？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

【推荐3】如图，过椭圆的左右焦点，分别作长轴的垂线，交椭圆于，，，，将，两侧的椭圆弧删除再分别以，为圆心，，线段的长度为半径作半圆，这样得到的图形称为“椭圆帽”.夹在，之间的部分称为椭圆帽的“帽体段”，夹在，两侧的部分称为椭圆帽的“帽檐段”.已知左右两个帽檐段所在的圆方程分别为.

(1)求“帽体段”的方程；
(2)记“帽体段”所在椭圆为C，过点的直线与椭圆C交于A，B两点，在x轴上是否存在一个定点，使得为定值？若存在，求出M点的坐标；若不存在，说明理由.