已知A、B为椭圆
（
）和双曲线
的公共顶点，P、Q分别为双曲线和椭圆上不同于A、B的动点，且
（
，
），设AP、BP、AQ、BQ的斜率分别为
、
、
、
.
（1）若
，求
的值（用a、b的代数式表示）；
（2）求证：
；
（3）设
、
分别为椭圆和双曲线的右焦点，若
，求
的值．
（）和双曲线的公共顶点，P、Q分别为双曲线和椭圆上不同于A、B的动点，且（，），设AP、BP、AQ、BQ的斜率分别为、、、.（1）若
，求的值（用a、b的代数式表示）；（2）求证：
；（3）设
、分别为椭圆和双曲线的右焦点，若，求的值．
18-19高三上·上海·期中 查看更多[3]
（已下线）专题12平面解析几何必考题型分类训练-4（已下线）上海市华东师范大学第二附属中学2022届高三6月模拟数学试题（已下线）上海市华东师范大学第二附中2018-2019学年高三上学期期中数学试题
更新时间：2019-11-14 21:31:24
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解答题-问答题
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较难
(0.4)
解题方法
【推荐1】已知椭圆C：
的左、右焦点分别为
，椭圆上一点
满足
．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知椭圆C上两点M、N关于x轴对称，点P为椭圆上一动点（不与M、N重合），若直线PM，PN与 轴分别交于G、H两点，证明：
为定值．
的左、右焦点分别为，椭圆上一点满足．（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知椭圆C上两点M、N关于x轴对称，点P为椭圆上一动点（不与M、N重合），若直线PM，PN与 轴分别交于G、H两点，证明：
为定值．
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解答题-证明题
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(0.4)
解题方法
【推荐2】已知椭圆
的一个焦点与短轴的两个端点组成的三角形是等腰直角三角形，点
是椭圆C上一点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设
是椭圆C上的一动点，由原点
向
引两条切线，分别交椭圆C于点P，Q，若直线
的斜率均存在，并分别记为
，求证：
为定值．
的一个焦点与短轴的两个端点组成的三角形是等腰直角三角形，点是椭圆C上一点．(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设
是椭圆C上的一动点，由原点向引两条切线，分别交椭圆C于点P，Q，若直线的斜率均存在，并分别记为，求证：为定值．
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.圆
的圆心为椭圆的左顶点
时，过椭圆外一点垂直于
、
与直线
、
的最小值；
、
.点
、
分别与
、
，
为定值.
解答题-问答题
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较难
(0.4)
解题方法
【推荐1】已知双曲线
：
的离心率为
，且焦点到渐近线的距离为1.
(1)求双曲线的方程；
(2)若动直线
与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别交于
，
两点，为坐标原点，证明：
的面积为定值.
：的离心率为，且焦点到渐近线的距离为1.(1)求双曲线
的方程；(2)若动直线
与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，为坐标原点，证明：的面积为定值.
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【推荐2】已知双曲线
的左、右焦点分别为，点
为线段
的中点，过的直线与的右支交于
两点，延长
分别与交于点
两点，若的离心率为
为上一点.
(1)求证：
；
(2)已知直线和直线
的斜率都存在，分别记为
，判断
是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.
的左、右焦点分别为，点为线段的中点，过的直线与的右支交于两点，延长分别与交于点两点，若的离心率为为上一点.(1)求证：
；(2)已知直线
和直线的斜率都存在，分别记为，判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.
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上任意一点，双曲线
的离心率为
，右焦点与椭圆
的右焦点重合．
的面积为定值，并求出此定值．
解答题-问答题
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较难
(0.4)
名校
【推荐1】已知双曲线的方程为
，离心率
,顶点到渐近线的距离为
(1)求双曲线的方程;
(2)设P是双曲线C上的点,A,B两点在双曲线的渐近线上,且分别位于第一,二象限,若
,
,求
面积的取值范围.
的方程为，离心率,顶点到渐近线的距离为(1)求双曲线
的方程;(2)设P是双曲线C上的点,A,B两点在双曲线
的渐近线上,且分别位于第一,二象限,若,,求面积的取值范围.
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解题方法
【推荐2】如图，正六边形
的边长为2．已知双曲线
的焦点为A，D，两条渐近线分别为直线
．
(1)建立适当的平面直角坐标系，求的方程；
(2)过A的直线l与交于M，N两点，
，若点P满足
，证明：P在一条定直线上．
的边长为2．已知双曲线的焦点为A，D，两条渐近线分别为直线．(1)建立适当的平面直角坐标系，求
的方程；(2)过A的直线l与
交于M，N两点，，若点P满足，证明：P在一条定直线上．
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解题方法
【推荐3】费马原理，也称为时间最短原理：光传播的路径是光程取极值的路径．在凸透镜成像中，根据费马原理可以推出光线经凸透镜至像点的总光程为定值（光程为光在某介质中传播的路程与该介质折射率的乘积）．一般而言，空气的折射率约为1．如图是折射率为2的某平凸透镜的纵截面图，其中平凸透镜的平面圆直径
为6，且与
轴交于点
．平行于轴的平行光束从左向右照向该平凸透镜，所有光线经折射后全部汇聚在点
处并在此成像．（提示：光线从平凸透镜的平面进入时不发生折射），试判断属于哪一种圆锥曲线，并求出其相应的解析式．
(2)设曲线
为解析式同的完整圆锥曲线，直线与交于
，
两点，交
轴于点
，交轴于点（点不与的顶点重合）．若
，
，试求出点所有可能的坐标．
为6，且与轴交于点．平行于轴的平行光束从左向右照向该平凸透镜，所有光线经折射后全部汇聚在点处并在此成像．（提示：光线从平凸透镜的平面进入时不发生折射）
，试判断属于哪一种圆锥曲线，并求出其相应的解析式．(2)设曲线
为解析式同的完整圆锥曲线，直线与交于，两点，交轴于点，交轴于点（点不与的顶点重合）．若，，试求出点所有可能的坐标．
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