【推荐1】陕西历史博物馆收藏的国宝——唐·金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐代金银细作中的典范之作．该杯的主体部分可以近似看作是双曲线的右支与y轴及直线围成的曲边四边形绕y轴旋转一周得到的几何体，如图，若该金杯主体部分的上口外直径为，下底座外直径为，且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍，
          
(1)求杯身最细之处的周长（杯的厚度忽略不计）：
(2)求此双曲线C的离心率与渐近线方程.

【推荐2】已知双曲线：的焦距为，其中一条渐近线的方程为.以双曲线的实轴为长轴，虚轴为短轴的椭圆记为E，过原点О的动直线与椭圆E交于A，B两点.
(1)求椭圆E的方程；
(2)若点Р为椭圆E的左顶点，，求的取值范围.

【推荐3】已知一条长为的线段的端点分别在双曲线的两条渐近线上滑动，点是线段的中点．
(1)求点的轨迹的方程．
(2)直线过点且与交于、两点，交轴于点．设，，求证：为定值．

【推荐1】已知点、为双曲线的左、右焦点，过作垂直于x轴的直线，在x轴上方交双曲线C于点M，且，圆O的方程是．
（1）求双曲线C的方程；
（2）过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为、，求证：为定值；
（3）若过圆O上点作圆O的切线l交双曲线C于A、B两点，求证：．

【推荐2】已知双曲线的焦距为，渐近线方程为：，双曲线左，右两个顶点分别为．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过点的直线与双曲线交于两点．设的斜率分别为，若，求的方程．

【推荐3】已知椭圆：的一个焦点为，且在椭圆上.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知垂直于轴的直线交于､两点，垂直于轴的直线交于､两点，与的交点为，且，问：是否存在两定点，，使得为定值？若存在，求出，的坐标，若不存在，请说明理由.