【推荐1】设点、是平面上左、右两个不同的定点，，动点满足：
．
（1）求证：动点的轨迹为椭圆；
（2）抛物线满足：①顶点在椭圆的中心；②焦点与椭圆的右焦点重合．
设抛物线与椭圆的一个交点为．问：是否存在正实数，使得的边长为连续自然数．若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

【推荐2】已知椭圆的中心为O，左、右焦点分别为，，M为椭圆C上一点，线段与圆相切于该线段的中点N，且的面积为4.
(1)求椭圆C的方程；
(2)椭圆C上是否存在三个点A，B，P，使得直线AB过椭圆C的左焦点，且四边形是平行四边形？若存在，求出直线AB的方程；若不存在.请说明理由.

【推荐3】已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2，0)，(2，0)，并且经过点，，是椭圆上的不同两点，且以为直径的圆经过原点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）是否存在圆心在原点的圆恒与直线相切，若存在，求出该圆的方程，若不存在，说明理由.

【推荐1】已知椭圆.
（1）求椭圆的短轴长和离心率；
（2）过点的直线与椭圆相交于两点，，设的中点为，点，判断与的大小，并证明你的结论.

【推荐2】椭圆方程，平面上有一点．定义直线方程是椭圆在点处的极线．已知椭圆方程．
(1)若在椭圆上，求椭圆在点处的极线方程；
(2)若在椭圆上，证明：椭圆在点处的极线就是过点的切线；
(3)若过点分别作椭圆的两条切线和一条割线，切点为，，割线交椭圆于，两点，过点，分别作椭圆的两条切线，且相交于点．证明：，，三点共线．

【推荐3】已知椭圆过点，且．
（1）求椭圆的方程；
（2）设为坐标原点，椭圆的左、右顶点分别为，，过点的直线交椭圆于点，，直线交直线于点，求证：．