名校
1 . 如图1，在
中，
，
，
，P为
上一动点．
的长；
(2)若动点P满足
，求
的值；
(3)如图2，若D为的中点，连接
，以为折痕，在平面内将
折叠，点A的对应点为
，当
时，求
的长；
(4)如图3，若E为
边上一点，且
，连接
，将线段绕点E沿逆时针方向旋转
得线段
，连接
，直接写出的最小值．
中，，，，P为上一动点．
的长；(2)若动点P满足
，求的值；(3)如图2，若D为
的中点，连接，以为折痕，在平面内将折叠，点A的对应点为，当时，求的长；(4)如图3，若E为
边上一点，且，连接，将线段绕点E沿逆时针方向旋转得线段，连接，直接写出的最小值．
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2 . 综合与实践课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．
沿过点A 的直线折叠，使点 B落在
边上的点
处，折痕为
，则四边形
的形状为 ．
(2)如图2，矩形纸片的边长
，用图1中的方法折叠纸片，折痕为，接着沿过点 D 的直线折叠纸片，使点 C落在
上的点 
处，折痕为
．则 
，
．
(3)如图3，矩形纸片的长为
，宽为
，用图1的方法折叠纸片，折痕为，在线段
上取一点 F（不与点
重合），沿折叠
，点 C的对应点为
延长
交直线于点 G．
①判断
与
的数量关系，并证明；
②当射线
经过
的直角边的中点时，请直接写出
的长．
沿过点A 的直线折叠，使点 B落在边上的点处，折痕为，则四边形的形状为 ．(2)如图2，矩形纸片
的边长，用图1中的方法折叠纸片，折痕为，接着沿过点 D 的直线折叠纸片，使点 C落在上的点 处，折痕为．则 ， ．(3)如图3，矩形纸片
的长为，宽为，用图1的方法折叠纸片，折痕为，在线段上取一点 F（不与点重合），沿折叠，点 C的对应点为延长交直线于点 G．①判断
与的数量关系，并证明；②当射线
经过的直角边的中点时，请直接写出的长．
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3 . 在
中，弦
平分圆周角
连接，过点D作
交
的延长线于点E．
是的切线；
(2)求证：
；
(3)如图2，若
且B是的中点，的直径是 
求
的长．
中，弦平分圆周角连接，过点D作交的延长线于点E．
是的切线；(2)求证：
；(3)如图2，若
且B是的中点，的直径是 求的长．
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名校
4 . 如图，三角形纸片
中，
，
，
．沿过点
的直线将纸片折叠，使点
落在边上的点
处：再折叠纸片，使点
与点重合，若折痕与的交点为
，则
（ ）
中，，，．沿过点的直线将纸片折叠，使点落在边上的点处：再折叠纸片，使点与点重合，若折痕与的交点为，则（ ）
A． | B． | C． | D． |
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5 . 如图1，经过原点的抛物线
，点 A 为其顶点．
，请直接写出抛物线的解析式 ；
(2)在（1）的条件下，抛物线
交x轴于另一点B，点Q在y轴负半轴上，在抛物线 
上找点P，使
求点 P的坐标；
(3)如图2，将抛物线平移得到顶点在坐标原点的抛物线
，且抛物线 
与直线
交于D，E两点（点D在点E左侧）， 连接
，若
求
的值．
，点 A 为其顶点．
，请直接写出抛物线的解析式 ；(2)在（1）的条件下，抛物线
交x轴于另一点B，点Q在y轴负半轴上，在抛物线 上找点P，使求点 P的坐标；(3)如图2，将抛物线
平移得到顶点在坐标原点的抛物线，且抛物线 与直线交于D，E两点（点D在点E左侧）， 连接，若求的值．
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6 . 如图，已知中，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，M，N为垂足，若
，
，
，则
的值是______ ．
中，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，M，N为垂足，若，，，则的值是
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7 . 在中，点A、B、C、D为圆周的四等分点，为切线，连接
并延长交于点F，连接
交于点G．
的度数；
(2)求证：
；
(3)若
，则
的值为 ．
中，点A、B、C、D为圆周的四等分点，为切线，连接并延长交于点F，连接交于点G．
的度数；(2)求证：
；(3)若
，则的值为 ．
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8 . 【教材呈现】
人教版八年级下册数学教材第68页第8题如下：如图1，是一个正方形花园，
是它的两个门，且
，要修建两条路
和
，这两条路等长吗？它们有什么位置关系？为什么？（此问题不需要作答）
九年级数学兴趣小组发现探究图形中互相垂直的线段之间的数量关系是一个常见问题，于是对上面的问题又进行了拓展探索，内容如下：
【类比分析】
（1）如图2，在矩形中，点E是上一点，连接，过点A作的垂线交于点F，垂足为点G，若
，
，求的长．
【迁移探究】
（2）如图3，在
中，，
，点D是上一点，连接
，作
交于点E，求证：
．
【拓展应用】
（3）如图4，在中，，，
，作点A关于的对称点D，点E为上一点，连接，过点D作的垂线，交于F，垂足为G，若E为中点，则
_________．
人教版八年级下册数学教材第68页第8题如下：如图1，
是一个正方形花园，是它的两个门，且，要修建两条路和，这两条路等长吗？它们有什么位置关系？为什么？（此问题不需要作答）九年级数学兴趣小组发现探究图形中互相垂直的线段之间的数量关系是一个常见问题，于是对上面的问题又进行了拓展探索，内容如下：
【类比分析】
（1）如图2，在矩形
中，点E是上一点，连接，过点A作的垂线交于点F，垂足为点G，若，，求的长．【迁移探究】
（2）如图3，在
中，，，点D是上一点，连接，作交于点E，求证：．【拓展应用】
（3）如图4，在
中，，，，作点A关于的对称点D，点E为上一点，连接，过点D作的垂线，交于F，垂足为G，若E为中点，则_________．
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9 . 如图，菱形中，
，点，
分别在，边上，将
沿直线
折叠，使点恰好落在的中点
处，若
，则的长为________ ．
中，，点，分别在，边上，将沿直线折叠，使点恰好落在的中点处，若，则的长为
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10 . 菱形与矩形
按如图所示的位置放置，边经过点，点在边上．若
，
，
，则
____________ ．
与矩形按如图所示的位置放置，边经过点，点在边上．若，，，则
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