2011高三·山东·竞赛
1 . 集合
.如果
满足：其任意三个元素
、
、
，均有
，则称具有“性质
”.为方便起见，简记
.具有性质的所含元素最多的集合称为“最大集”.试问：具有性质的最大集共有多少个？并给出证明.
.如果满足：其任意三个元素、、，均有，则称具有“性质”.为方便起见，简记.具有性质的所含元素最多的集合称为“最大集”.试问：具有性质的最大集共有多少个？并给出证明.
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2 . 若
、、均为正整数，且
，
为一素数，、、的进制表示分别为
，其中，
.证明：
（1）若
，且对整数
均有
，则
，其中，
表示不超过实数
的最大整数.
（2）
，其中，
表示集合A中元素的个数.
、、均为正整数，且，为一素数，、、的进制表示分别为，其中，.证明：（1）若
，且对整数 均有，则，其中，表示不超过实数的最大整数.（2）
，其中，表示集合A中元素的个数.
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2005高三·山东·竞赛
3 . 圆周上有800个点，依顺时针方向标号为
，它们将圆周分成800个间隙.今选定某一点染成红色，然后按如下规则，逐次染红其余的一些点：如果第
号点已被染红，则可按顺时针方向转过个间隙，再将所到达的那个端点染红.如此继续下去.试问圆周上最多可得到多少个红点？证明你的结论.
，它们将圆周分成800个间隙.今选定某一点染成红色，然后按如下规则，逐次染红其余的一些点：如果第号点已被染红，则可按顺时针方向转过个间隙，再将所到达的那个端点染红.如此继续下去.试问圆周上最多可得到多少个红点？证明你的结论.
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