1 . 如图，半径为
、
的两圆交于
、
两点，
是半径为的圆上任意一点（不在另一圆内），
、
与另一圆分别交于点
、
.
（1）用、及
表示
的长度；
（2）证明：两圆正交（即交点处切线互相垂直）的充分必要条件为
.
、的两圆交于、两点，是半径为的圆上任意一点（不在另一圆内），、与另一圆分别交于点、.（1）用
、及表示的长度；（2）证明：两圆正交（即交点处切线互相垂直）的充分必要条件为
.
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2 . 已知锐角
.以
、
、
为三边作一
，以
、
、
为圆心，分别以
、
、
为半径作圆，则此三圆必交于一点
，且恰是的垂心.试证之.
.以、、为三边作一，以、、为圆心，分别以、、为半径作圆，则此三圆必交于一点，且恰是的垂心.试证之.
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3 . 设凸六边形
的六个内角均为钝角，且
，
,
.以三边
为边向内各作一个矩形，使它们的顶点两两重合，构成
（如图）求证：矩形
的面积之比等于
.
的六个内角均为钝角，且，,.以三边为边向内各作一个矩形，使它们的顶点两两重合，构成（如图）求证：矩形的面积之比等于.
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4 . 设
为
斜边
上的高，
、
、分别是、
、
的内心.求证：
的外接圆半径与的内切圆半径相等.
为斜边上的高，、、分别是、、的内心.求证：的外接圆半径与的内切圆半径相等.
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5 . 设K为△ABC的内心，点
、
分别为边AB、AC的中点，直线AC与
交于点
，直线AB与
交于点
,若
与△ABC面积相等，试求∠CAB.
、分别为边AB、AC的中点，直线AC与交于点，直线AB与交于点,若与△ABC面积相等，试求∠CAB.
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6 . 如图，在
中，
分别是
延长线上的点，
为
的中点，连结
交外接圆于
.求证：
.
中，分别是延长线上的点，为的中点，连结交外接圆于.求证：.
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7 . 如图，设P是△ABC内一点，使得∠APB-∠ACB=∠APC-∠ABC．
又设
分别是△APB、△APC的内心．求证：直线
交于一点．
又设
分别是△APB、△APC的内心．求证：直线交于一点．
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8 . 设四边形
内接于
.过作的切线交边
的延长线于点
，且点位于点和点C 之间；过 作的切线交边
的延长线于点
，且点位于点和点之间.已知
.证明：四边形为梯形.
内接于.过作的切线交边的延长线于点，且点位于点和点C 之间；过 作的切线交边的延长线于点，且点位于点和点之间.已知.证明：四边形为梯形.
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9 . 在四边形中，
.求证： 
.
中，.求证： .
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10 . 如图所示，
、
是的切线，、
是切点，
是劣弧
上异于、的点，过点平行于的直线分别交
、
于点、.若
，求证：
.
、是的切线，、是切点，是劣弧上异于、的点，过点平行于的直线分别交、于点、.若，求证：.
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