1 . 已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为.
(1)求双曲线的方程；
(2)过的直线与交于两点，过的左顶点作的垂线，垂足为，求证：.

2 . 已知双曲线的一条渐近线方程为，一个焦点到该渐近线的距离为1.
(1)求双曲线的方程；
(2)若双曲线的右顶点为，直线与双曲线相交于两点不是左右顶点），且.求证：直线过定点，并求出该定点的坐标.

3 . 已知双曲线经过点，离心率2，直线l交双曲线于A、B两点．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若l过原点，P为双曲线上异于A、B的一点，且直线的斜率均存在，求证：为定值；
(3)若l过双曲线的右焦点，是否存在x轴上的点，使得直线l绕点无论怎么转动，都有成立？若存在，求出M的坐标；若不存在，请说明理由．

4 . 已知F是双曲线C：的右焦点，过F的直线l交双曲线右支于P，Q两点，PQ中点为M，O为坐标原点，连接OM交直线于点N．

(1)求证：；
(2)设，当时，求三角形面积S的最小值．

5 . 已知双曲线与椭圆有相同的焦点，且焦点到渐近线的距离为2.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)设为双曲线的右顶点，直线与双曲线交于不同于的，两点，若以为直径的圆经过点且于，证明：存在定点，使得为定值.

7 . 已知双曲线的焦距为，直线与交于不同的点，且时与的两条渐近线所围成的三角形恰为等边三角形．
（1）求双曲线的方程；
（2）若坐标原点在线段为直径的圆的内部，求实数的取值范围；
（3）设分别是的左、右两顶点，线段的垂直平分线交直线于点，交直线于点，求证：为定值．