1 . 用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当圆锥的轴与截面所成的角不同时，可以得到不同的截口曲线，也即圆锥曲线.探究发现：当圆锥轴截面的顶角为
时，若截面与轴所成的角为
，则截口曲线的离心率
.例如，当
时，
，由此知截口曲线是抛物线.如图，圆锥
中，
、
分别为
、的中点，
、
为底面的两条直径，且
、
，
.现用平面
（不过圆锥顶点）截该圆锥，则（ ）
时，若截面与轴所成的角为，则截口曲线的离心率.例如，当时，，由此知截口曲线是抛物线.如图，圆锥中，、分别为、的中点，、为底面的两条直径，且、，.现用平面（不过圆锥顶点）截该圆锥，则（ ）
A．若 ，则截口曲线为圆 |
B．若与所成的角为 ，则截口曲线为椭圆或椭圆的一部分 |
C．若 ，则截口曲线为抛物线的一部分 |
D．若截口曲线是离心率为 的双曲线的一部分，则 |
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名校
解题方法
2 . 双曲线具有如下性质：双曲线在任意一点处的切线平分该点与两焦点连线的夹角.设
为坐标原点，双曲线
的左右焦点分别为
，右顶点
到一条渐近线的距离为2，右支上一动点
处的切线记为
，则（ ）
为坐标原点，双曲线的左右焦点分别为，右顶点到一条渐近线的距离为2，右支上一动点处的切线记为，则（ ）A．双曲线 的渐近线方程为 |
B．双曲线的离心率为 |
C．当 轴时， |
D．过点 作 ，垂足为 |
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2024-03-03更新
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1067次组卷
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3卷引用：广东省广州市天河区2024届高三毕业班综合测试(二)数学试卷
3 . 法国数学家加斯帕尔•蒙日发现：椭圆的两条互相垂直的切线的交点轨迹是以椭圆中心为圆心的圆（称为椭圆的蒙日圆）.已知椭圆
的左､右焦点分别为，左､右顶点分别为
，点是椭圆上异于的动点，点
是该椭圆的蒙日圆上的动点，则下列说法正确的是（ ）
的左､右焦点分别为，左､右顶点分别为，点是椭圆上异于的动点，点是该椭圆的蒙日圆上的动点，则下列说法正确的是（ ）A．该椭圆的蒙日圆的方程为 |
B．存在点使 的面积为25 |
C．使 的点有四个 |
D．直线 的斜率之积 |
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解题方法
4 . 古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥面的方法来研究圆锥曲线．后经研究发现：当圆锥轴截面的顶角为时，用一个与旋转轴所成角为的平面（不过圆锥顶点）去截该圆锥面，则截口曲线（圆锥曲线）的离心率为
．比如，当时，，即截得的曲线是抛物线．如图，在空间直角坐标系
中放置一个圆锥，顶点
，底面圆O的半径为2，直径AB，CD分别在x，y轴上，则下列说法中正确的是（ ）
时，用一个与旋转轴所成角为的平面（不过圆锥顶点）去截该圆锥面，则截口曲线（圆锥曲线）的离心率为．比如，当时，，即截得的曲线是抛物线．如图，在空间直角坐标系中放置一个圆锥，顶点，底面圆O的半径为2，直径AB，CD分别在x，y轴上，则下列说法中正确的是（ ）A．已知点 ，则过点 的平面截该圆锥得的截口曲线为圆 |
| B．平面MAB截该圆锥得的截口曲线为抛物线的一部分 |
C．若 ，则平面MEF截该圆锥得的截口曲线为双曲线的一部分 |
| D．若平面截该圆锥得的截口曲线为离心率是的双曲线的一部分，则平面不经过原点O |
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解题方法
5 . 已知平面内一动点与两定点连线的斜率的乘积为定值时，若该定值为正数，则该动点轨迹是双曲线（两定点除外）；若该定值是负数，则该动点轨迹是圆或椭圆（两定点除外）.如图，给定的矩形
中，
，
，E、F、G、H分别是矩形四条边的中点，M、N分别是直线
、的动点，
，
，其中
，且直线
与直线
交于点P.下列说法正确的是（ ）
中，，，E、F、G、H分别是矩形四条边的中点，M、N分别是直线、的动点，，，其中，且直线与直线交于点P.下列说法正确的是（ ）A．若 ，则P的轨迹是双曲线的一部分 |
| B．若，则P的轨迹是椭圆的一部分 |
C．若 ，则P的轨迹是双曲线的一部分 |
D．若 ，则P的轨迹是椭圆的一部分 |
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6 . 法国数学家加斯帕尔•蒙日是19世纪著名的几何学家，他创立了画法几何学，推动了空间解析几何学的独立发展，奠定了空间微分几何学的宽厚基础.根据他的研究成果，我们定义椭圆
的“蒙日圆”的方程为
，已知椭圆的长轴长为4，离心率为
为蒙日圆上任一点，则以下说法正确的是（ ）
的“蒙日圆”的方程为，已知椭圆的长轴长为4，离心率为为蒙日圆上任一点，则以下说法正确的是（ ）A．过点作椭圆的两条切线 ，则有 . |
B．过点作椭圆的两条切线，交椭圆于点 为原点，则 的斜率乘积为定值 . |
C．过点作椭圆的两条切线，切点分别为 ，则 的取值范围 . |
D．过点作椭圆的两条切线，切点分别为为原点，则 的最大值为 . |
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7 . 小明同学在完成教材椭圆和双曲线的相关内容学习后，提出了新的疑问：平面上到两个定点距离之积为常数的点的轨迹是什么呢？又具备哪些性质呢？老师特别赞赏他的探究精神，并告诉他这正是历史上法国天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的，这类曲线被称为“卡西尼卵形线”．在老师的鼓励下，小明决定先从特殊情况开始研究，假设
、
是平面直角坐标系xOy内的两个定点，满足
的动点P的轨迹为曲线C，从而得到以下4个结论，其中正确结论的为（ ）
、是平面直角坐标系xOy内的两个定点，满足的动点P的轨迹为曲线C，从而得到以下4个结论，其中正确结论的为（ ）| A．曲线C既是轴对称图形，又是中心对称图形 |
B．动点P的横坐标的取值范围是 |
C． 的取值范围是 |
D． 的面积的最大值为 |
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2023-11-25更新
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562次组卷
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4卷引用：福建省莆田第四中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷
8 . 2022年卡塔尔世界杯会徽正视图近似伯努利双纽线．伯努利双纽线最早于 1694 年被瑞士数学家雅各布·伯努利用来描述他所发现的曲线．定义在平面直角坐标系
中，把到定点
，
距离之积等于
的点的轨迹称为双纽线，已知点
是
时的双纽线上一点，下列说法正确的是（ ）
中，把到定点，距离之积等于的点的轨迹称为双纽线，已知点是时的双纽线上一点，下列说法正确的是（ ）| A．双纽线是中心对称图形 |
B． |
C．双纽线上满足 的点有2个 |
D． 的最大值为 |
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2023·江苏南通·模拟预测
解题方法
9 . 如图，已知圆锥
的轴与母线所成的角为
，过
的平面与圆锥的轴所成的角为
，该平面截这个圆锥所得的截面为椭圆，椭圆的长轴为
,短轴为
,长半轴长为
，短半轴长为
，椭圆的中心为,再以为弦且垂直于的圆截面，记该圆与直线
交于
，与直线
交于
，则下列说法正确的是（ ）
的轴与母线所成的角为，过的平面与圆锥的轴所成的角为，该平面截这个圆锥所得的截面为椭圆，椭圆的长轴为,短轴为,长半轴长为，短半轴长为，椭圆的中心为,再以为弦且垂直于的圆截面，记该圆与直线交于，与直线交于，则下列说法正确的是（ ）A．当 时，平面截这个圆锥所得的截面也为椭圆 |
B． |
| C．平面截这个圆锥所得椭圆的离心率 |
D．平面截这个圆锥所得椭圆的离心率 |
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2023-04-17更新
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652次组卷
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3卷引用：江苏省南通市如皋市2023届高三下学期高考适应性考试(二)数学试题
（已下线）江苏省南通市如皋市2023届高三下学期高考适应性考试(二)数学试题江苏省南通市通州区2023届高三下学期适应性考试（二）数学试题江苏省苏州市三校2023-2024学年高二上学期10月阶段检测数学试题
名校
解题方法
10 . 定义：以双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线与原双曲线互为共轭双曲线，以下关于共轭双曲线的结论正确的有（ ）
A．与 共轭的双曲线是 |
| B．互为共轭的双曲线渐近线不相同 |
C．互为共轭的双曲线的离心率为 ，则 |
| D．互为共轭的双曲线的4个焦点在同一圆上 |
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