1 . 勾股定理，是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”. 中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一. 据记载，在公元前1120年，商高答周公曰“故折矩，以为勾广三，股修四，径隅五，既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五，两矩共长二十有五，是谓积矩. ”因此，勾股定理在中国又称“商高定理”. 数百年后，希腊数学家毕达哥拉斯发现并证明了这个定理，因此“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”. 三国时期，吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明. 如图所示的勾股圆方图中，四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形. 若中间小正方形面积（阴影部分）是大正方形面积一半，则直角三角形中较小的锐角
的大小为_________ .
的大小为
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2 . 南宋时期，数学家秦九韶提出利用三角形的三边求面积的公式：如果一个三角形的三边长分别为
，那么三角形的面积
，后人称之为秦九韶公式.这与古希腊数学家海伦证明的面积公式
，
实质是相同的.若在
中，
，
，
，则的面积为____ ， 的内切圆半径为____ .
，那么三角形的面积，后人称之为秦九韶公式.这与古希腊数学家海伦证明的面积公式，实质是相同的.若在中，，，，则的面积为的内切圆半径为
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2021-08-03更新
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139次组卷
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2卷引用：浙江省丽水市2020-2021学年高二下学期期末数学试题
名校
3 . 在平面几何中，有勾股定理：“设的两边
互相垂直，则
．”拓展到空间，类比平面几何中的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥
中的三个侧面
两两相互垂直，则__________．”请将上述结论补充完整，并给出证明．
注：证明过程中不允许添加辅助线，涉及到立体几何的非必要证明过程可省略．
的两边互相垂直，则．”拓展到空间，类比平面几何中的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥中的三个侧面两两相互垂直，则__________．”请将上述结论补充完整，并给出证明．注：证明过程中不允许添加辅助线，涉及到立体几何的非必要证明过程可省略．
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4 . 1876年4月1日，加菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了勾股定理的一种证明方法，即在如图所示的直角梯形
中，利用“两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形的面积之和等于直角梯形面积”推证出勾股定理，人们把这一证明方法称为“总统证法”.设
，在梯形中随机取一点，则此点取自等腰直角
中（阴影部分）的概率是______ .
中，利用“两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形的面积之和等于直角梯形面积”推证出勾股定理，人们把这一证明方法称为“总统证法”.设，在梯形中随机取一点，则此点取自等腰直角中（阴影部分）的概率是
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2020-08-15更新
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246次组卷
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2卷引用：河南省新乡市新乡县第一中学2019-2020学年高一下学期期末考试数学试卷
5 . 伟大的数学家高斯说过：几何学唯美的直观能够帮助我们了解大自然界的基本问题
一位同学受到启发，借助上面两个相同的矩形图形，按以下步骤给出了不等式：
的一种“图形证明”．
证明思路：
（1）图1中白色区域面积等于右图中白色区域面积；
（2）图1中阴影区域的面积为
，图2中，设
，图2阴影区域的面积可表示为______ 
用含
，
，
，
，
的式子表示
；
（3）由图中阴影面积相等，即可导出不等式
当且仅当，，，满足条件______ 时，等号成立．
一位同学受到启发，借助上面两个相同的矩形图形，按以下步骤给出了不等式：的一种“图形证明”．证明思路：
（1）图1中白色区域面积等于右图中白色区域面积；
（2）图1中阴影区域的面积为
，图2中，设，图2阴影区域的面积可表示为用含，，，，的式子表示；（3）由图中阴影面积相等，即可导出不等式
当且仅当，，，满足条件
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2018-01-22更新
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638次组卷
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2卷引用：北京市朝阳区2018届高三第一学期期末理科数学试题
